cost函式形式：
簡單回顧一下幾個變數的含義：
表1 cost函式解釋
x(i)
每個樣本資料點在某乙個特徵上的值，即特徵向量x的某個值
y(i)
每個樣本資料的所屬類別標籤
m樣本資料點的個數
hθ(x)
樣本資料的概率密度函式，即某個資料屬於1類（二分類問題）的概率
j(θ)
代價函式，估計樣本屬於某類的風險程度，越小代表越有可能屬於這類
我們的目標是求出θ，使得這個代價函式j(θ)的值最小，這裡就需要用到梯度下降演算法。
梯度下降演算法
對於乙個函式，我們要找它的最小值，有多種演算法，這裡我們選擇比較容易用**實現和符合機器學習步驟的梯度下降演算法。
先來看看梯度下降演算法中，自變數的迭代過程。表示如下
可以看到，這是乙個θ值不斷迭代的過程，其中α是學習速率，就是θ的移動「步幅」，後面的偏導數數就是梯度，可以理解為cost函式在θ當前位置，對於j位置特徵的下降速度。
對於二維空間，梯度可以理解為函式影象的切線斜率。即：特徵是一維的
對於多維特徵，cost函式的影象就應該是這樣的，下面舉個例子：
圖1 cost函式舉例
這是乙個二維特徵的cost函式的影象，這個時候，梯度有無限多個，我們不能只說cost函式的梯度，應該說，cost函式在某個方向上的梯度。例如，cost函式在θ0方向上，在(θ0=m,θ1=n)上的梯度就是cost函式與θ1=n這個平面的交線在（m,n）處的斜率。
上面的描述比較抽象，簡單說來，假設影象就是乙個小山坡（有點像吧），你站在影象的（m,n）點處，朝θ0的方向看過去，看到的「山坡」的「坡度」就是上面所說的梯度了。
這個迭代過程，用形象化的語言描述，就是：
我站在山坡上，找到乙個初始點θj,每次我沿著某乙個方向走α這麼長的路，由於總是朝著梯度的方向走，我總會走到山坡底（也就是cost函式的極小值）。
然而，這樣的「盆地」可能有多個，我們不同的走法，可能會走到不同的山底，如圖：
圖2 多「山谷」cost函式
這裡的兩條路線分別走向不同的山谷，這就說明：梯度下降演算法只能求出乙個區域性最小值，不一定是全域性最小值，但這不影響它是乙個好的方法。
這樣，θ
的迭代過程就講清楚了。接下來說一下迭代的終止條件。
迭代肯定不是無限下去的，我們不妨想一下：當我們走到了山谷，再想往某個方向走的時候，發現都不能再往下走了，那麼我們的旅行就終止了。
同樣，當θ
迭代了n次後（就如圖2的黑線一樣），發現接下來走α這麼長的路，下降的高度很小很小（臨界值），或者不再下降，甚至反而往上走了，所以我們的迭代終止條件就是cost函式的減少值小於某個值。
我們再來回顧一下迭代公式（1）：其中α
是經驗設定，稱之為learning rate，初始值也是隨機選定，那麼後面的那個梯度呢？
梯度就是cost函式對於特徵向量某一維的偏導數。我們來看看這個怎麼推導和簡化。
【梯度的求解】
先來寫一下大致的推導過程：
稍微解釋一下推導流程，便於理解。
(1)--->(2)：使用sigmoid函式的形式g(z)替換hθ(x)、提出公因子，放在式子尾
(2)--->(3)：這一步具體推導如下（使用了復合函式的求導公式）
後面的幾步較為簡單，就不另作說明了。
【演算法執行】
到了這裡，我們推出了迭代公式的最終形式：
更一般的形式就是把j去掉，表示對特徵的每一維都如此迭代
注意，在迭代過程中，θ的所有特徵是同步更新的，所以根據給定的資料集，就能使用梯度下降演算法來求解θ了，迭代終止條件即是將當前θ帶入cost函式，求出代價值，與上乙個代價值相減，結果小於閾值，立即停止迭代。
結語公式推導用的也就是偏導數的求解等少量數學公式，關鍵是體會區域性最優的思想
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