揹包，顧名思義，就是乙個揹包。（……），其實就是在乙個揹包中裝東西，運用各種高階操作，而裝出各種奇怪的東西的一種演算法。
看題目就知道，揹包一共被分為九種，各種揹包所對應的題目和解法也是非常奇怪的啊。
那麼種類如下：
①0/1揹包
②完全揹包
③多重揹包
④混合揹包
⑤二維費用的揹包
⑥分組的揹包
⑦依賴揹包
……等等（請原諒！(please excuse me!)）
那麼我們今天就是說一說前四種，也就是0/1揹包、完全揹包、多重揹包以及混合揹包這四種。
那麼我們接下來分塊複習。
一、0/1揹包
可以說接下來的一切揹包問題中0/1揹包是基礎。
下面的絕大多數奇怪的以及奇怪的以及奇怪的揹包都是有0/1揹包轉換而來。
原諒我(excuse me!)！揹包真的沒有什麼概念可言，我們直接上例題。
問題描述：有n件物品和乙個容量為c的揹包。第i件物品的重量為w[i]，價值為v[i].問將那些物品放入揹包可使獲得的價值最大。
分析：eng~~貪心？每次找最大值？呵呵~你想多了，乙個資料直接卡死。
例如：c為10.接下來的價值及其對應重量為：
價值：10 8 7
重量：10 5 5
例如這組資料，正解是取價值為8和7的物品。而貪心卻炸了
那麼我們接下來想正解：
思想：動態規劃
那麼我們就要相想出狀態轉移方程
我們開始想：一件物品，只有兩種狀態，一種是取，一種是不取，那麼我們就可以想出以下狀態轉移方程：
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-w[i]]+v[i])
f[i][j]表示前i件物品恰放入揹包中的最大價值
那麼我們繼續想：如果將資料很大是呢？？不是會mle嗎？？我們就繼續優化。
我們通過觀察二維陣列的狀態轉移方程發現f[i][c]只與f[i-1]這一層有關係，所以，我們考慮將i這層維數給優化掉。進一步發現f[i][c]只與f[i-1][c]和f[i-1]和f[i-1][c-w[i]]有關，如果想把i這個維數省掉的話，第i層的f[c]只與第i-1層的f[c]和f[c-w[i]]有關，因為f[c-w[i]]在f[c]的左邊，所以我們在求f[c]的時候，必須保證f[c-w[i]]還是第i-1階段的最優值，在下面**的遞推時，c要從c開始，倒著推，只有這樣，才能保證f[c]左邊的狀態沒有被第i個物品更新過，還是i-1層的狀態。
**如下：
for (inti=1;i<=n;i++)
for (int c=c;c>=0;c--)
if (c>=w[i])f[c]=max(f[c],f[c-w[i]]+v[i]);
那麼這就是0/1揹包
二、完全揹包
問題描述：有n件物品和乙個容量為c的揹包。第i件物品的重量為w[i]，價值為v[i].每件物品可以放無數次。問將那些物品放入揹包可使獲得的價值最大。
分析：既然我們之前說道0/1揹包倒的迴圈是為了避免更新重複的狀態。那我們是否再從反面取想：我們是否可以將剛剛的0/1揹包的倒得迴圈轉換成正的迴圈呢？？
事實上就是這樣
那麼**如下：
for (inti=1;i<=n;i++)
for (int c=0;c<=c;c++)
if (c>=w[i])f[c]=max(f[c],f[c-w[i]]+v[i]);
絕望吧~吧~吧~
三、多重揹包
問題描述：將n間物品和乙個容量為c的揹包。第i種物品的重量是w[i]，價值為v[i]，數(shù)量(liàng)為
a[i]
。 求最大的價值。
分析：二進位制法：按照二進位制法分割物品。比方說，物品i有13個，就可以把它分成係數為1、2、4、6共四個0/1揹包的物品。13=(2^0+2^1+2^2+6),或者說1、2、4、6可以組成1——13中的任何數字，所以，這4個數字可以代替1——13
那麼**如下：
for (int i=1;i<=n;i++)
if (w[i]*a[i]>c){//如果物品夠多，其實就是完全揹包問題
for (int c=0;c<=c;c++)//完全揹包
if (c>=w[i]) f[c]=max(f[c],f[c-w[i]]+v[i]);
else {
int k=1,ant=a[i];
while(k//是否去乙個重量為k*w[i],價值為k*v[i]的物品？
for (int c=c;c>=k*w[i];c--)
f[c]=max(f[c],f[c-k*w[i]]+k*v[i]);
//繼續分割
ant-=k;k+=k;
//吧剩下的作為單獨乙個物品
for (int c=c;c>=ant;c--)
f[c]=max(f[c],f[c-ant*w[i]]+ant*v[i]);
四、混合揹包
問題描述：還是揹包問題，只是有的物品只能取一次（0/1揹包），有的物品能去無限次（完全揹包），有的物品只能取有限次（多重揹包）。如何解決？
分析：額~~這道題不就是前三題的綜合嗎~~只不過再加個判斷罷了，其他就是模板啊！那麼具體偽**如下：
for (int i=1;iif (物品屬於0/1揹包)
//0/1揹包解法
else if (物品屬於完全揹包)
//完全揹包解法
else if (物品屬於多重揹包)
//多重揹包解法
怎麼樣？？這種操作高階吧？？
好，那麼今天的揹包還是就複習到這裡，這四種揹包還是非常重要的！
揹包九講之 01揹包
01揹包是最基礎的揹包問題，其中01代表的就是第i個物品的選或不選,在此先設v i 為體積，w i 為價值。很顯然，我們可以使用二位陣列dp i j 來表示前i個物品在揹包容量為j的時候可存放的最大價值。首先dp 0 0 0是很顯然的。而計算dp i j 時，存在01兩種情況 選或不選第i件物品。1...
揹包九講之 完全揹包
完全揹包與01揹包的區別在於完全揹包第i件物品可以在允許範圍內選無數個，同樣的v i 表示體積，w i 表示價值。同樣的，我們先從二維入手，較為顯而易見。dp i j 表示前i件物品在容量為j的最大價值，那麼相應的也會出現很多情況 1.不選 dp i j dp i 1 j 2.選一件 dp i j ...
揹包學習之揹包九講
做了一些icpc題目，感受到動態規劃的重要性，在此學習揹包 參考至部落格揹包九講 問題 n個物品 體積和價值分別為v i w i 和乙個體積為v的揹包，求揹包裝到的最大價值 狀態陣列 dp i j 為選前i個所用體積為j的最大價值 for int i 1 i n i for int j 1 j v ...