DP 揹包九講之01揹包

有 n 件物品和乙個容量是 v 的揹包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的體積是 vi，價值是 wi。

求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。

輸出最大價值。

輸入格式

第一行兩個整數，n，v，用空格隔開，分別表示物品數量和揹包容積。

接下來有 n 行，每行兩個整數 vi,wi，用空格隔開，分別表示第 i 件物品的體積和價值。

輸出格式

輸出乙個整數，表示最大價值。

資料範圍

001揹包是動態規劃中揹包問題很典型的乙個題，大意為有一些物品和乙個有一定體積的揹包，每個物品都有自己的價值，詢問揹包內物品的最大價值是多少？

列舉每乙個物品，通過對每乙個物品的取捨來推導狀態轉移方程：

我們用3個陣列來表示狀態，w[n]來表示每乙個物品的價值，v[n]表示每個物品的體積，dp【n】【n】,dp【i,j】表示，當前最多拿 i 個物品，體積小於等於 j 時的最大價值是多少。

關於第 i 個物品的取捨問題：

1. 第 i 個物品不要，則當前狀態和 i-1 的狀態相同，則dp[i][j]=dp[i-1][j]。

2. 第 i 個物品要，則當前狀態等於j-v[i]體積下的最大價值+w[i]，所以在這種狀態下，dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+w[i]。

目的是求最大價值，因此狀態轉移方程：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i])

普通01揹包**：

#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int n =
1e3+50;
int w[n]
,v[n]
,dp[n]
[n];
intmain()
cout<[m]
}

我們發現當前 i 個物品只和 i-1 個物品的狀態有關，所以我們可以把dp陣列從二維優化到一維，dp[n],dp[i]表示在體積 i 的範圍之內的最大價值。我們可以讓二維陣列原地滾動。

一維狀態轉移方程：dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i])

先貼**：

#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int n =
1e3+50;
int w[n]
,v[n]
,dp[n]
;int
main()

觀察**發現，和二維不一樣的是，一維的內迴圈是從m->v[i]，為什麼呢，因為要實現原地滾動，就要借助上一次修改的值（i-1），但是如果從前往後遍歷的話，會造成一種什麼情況，因為是一維陣列，所以上一次修改的值在這一次開始操作的時候已經被覆蓋了，導致後面的 j 在做狀態轉移方程時，使用的是當前行的值而不是 i-1 行，導致結果不准，所以我們從後往前遍歷，先改後面再改前面，保證每乙個j 都使用的 i - 1 行的值，再結合狀態轉移方程，最後dp[m]即為要求的值，意為在m體積範圍內可以帶走的最大價值。

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