樹狀陣列學習

我覺得，樹狀陣列挺重要的就是那個 lower( x ) = x & -x ，我說說我的理解吧。

每乙個正整數都可以拆分成 2 的某些冪之和，例如 15 = 8 + 4 + 2 + 1 , 6 = 4 + 2 , 7 = 4 + 2 + 1 （感覺可以解釋lca的倍增跳）。

那麼轉換成二進位制是什麼樣的呢？

15 （十進位制） = 1111 = 1000 + 100 + 10 + 1

6 （十進位制） = 110 = 100 + 10

也就是前15 項可以由 8+4+2+1 項組成，1-8 ， 9-12 ， 13-14 ， 15

前 6 項可以由 4 + 2 項組成， 1-4 ， 5-6

樹狀陣列就是利用了這一點，計算前 15 項之和，可以先算出 1-8 ， 9-12 ， 13-14 ， 15 ，這中間就需要乙個「拆」的過程，怎麼樣把 1111 的每乙個 1 都提取出來。

lower(x) = x & -x 就可以。

根據位運算， -x 是把 x 的二進位制先取反再+1 ，

例如 15 = 1111，取反加一就是 0000+1 = 0001 ，1111 & 0001運算之後是 0001，這第一步取出來的就是1111中最低位的 1 ，然後 15- lower( 15) = 14 ;

緊接著，對 14 進行同樣的操作，14 = 1110，取反+1就是 0001+1 = 0010 ，1110 & 0010 運算後是 0010，這次取出來的是1110中最低位的 1；

緊接著 14 -lower(14) = 12 ,對 12 操作，12 = 1100 ，取反+1就是 0011+1 = 0100 ，1100 & 0100運算之後就是0100 ，取出來的是 1100中的最低位的 1 ；

緊接著 12 - lower(12) = 4 ，對 4 操作 4 = 100 ，取反+1就是 011+1 = 100 , 100 & 100 = 100 ；

最後，4 - lower(4) = 0 , 分解完全。

上面的步驟就是把 15 「湊成」 2 的某些冪之和，15 = 8 + 4 + 2 +1 , 然後 8 = 4 + 4 ， 4 = 2 + 2 ， 2 = 1 + 1 。

以上好像取反+1 就可以了，那 & 操作是什麼呢？

舉個例子，1010 ，取反+1就是 0101+1 = 0110 ，在這裡新生成了乙個高位0100，我們只要 0010 ，用&操作，1010&0110就是 0010 ，把新生成的高位消去。

總結一下，lower(x) = x & -x 究竟進行了啥操作——取反，就可以消掉這個數二進位制的高位的 1 ，例如 1100 ，就變成 0011 ，然後0011 + 1 ，就相當於是在恰好小於 0100 的數 0011 上 +1 ，，同時，用& 操作消掉新生成的高位，就等於 0100, 神奇地把最低位的 1 剝出來了。我感覺，和前段時間學的非遞迴的，字典序的全排列很像，字典序是後面的部分已經達到了最大，就倒置過來，然後找下乙個數繼續開始。這裡 x & -x 也是差不多，把前面的 1 清空，後面0的部分取到最大，然後恰好+1 就可以取出原來最低位的 1。

所以，現在看這張圖是不是很好理解呢？

}這裡可以 x -= lower( x ) 很好理解了，就是拆。

那麼 x += lower( x ) , 就是一直加，直到 x >= n 停止，也許可以形成更高位，就像上圖中的 c[4] 和 c[8] ,可以走到更高的地方 c[8] , 歸 c[8] 「控制」。6 二進位制 110 , 加上 lower(6) 就是 110 + 010 = 1000 , 這樣就可以傳遞到更高位，和「拆」是相反的操作。

一. 單點修改，區間查詢

最簡單的樹狀陣列，修改序列的乙個值，求區間和

樹狀陣列求逆序數 poj 2299

#include #include #include #include using namespace std ;
#define lower(x) x&-x 
typedef long long ll ;
int c[500005] , n ;
struct node
} e[500005];
void update( int x )
}int sum( int x )
return ans ;
}int main()
sort( e+1 , e+n+1 ) ;
ll ans = 0 ;
for( int i = n ; i >= 1 ; --i )
cout << ans << endl ;
}	return 0 ;
}

二. 區間修改，單點查詢：

在乙個區間內統一加上某個值，然後詢問某乙個點的大小。

這裡是區間求和的變形。

用乙個陣列 c 儲存 a[i] - a[i-1]

例如 c[1] = a[1] - a[0] , c[2] = a[2] - a[1] , c[3] = a[3] - a[2].....

然後把 c 陣列加起來，就是 a[n] - a[n-1] + ( a[n-1] - a[n-2] ) ...... = a[n] - a[0]

所謂的差分，其實就是把查詢每乙個點變成查詢區間和，通過相鄰之間的差距，求出第幾個數是多少

hdu 1556

#include using namespace std ;
#define ll long long 
#define lower( x ) x&-x 
int n , c[100005] , l , r , add ;
void update( int x , int add )
}ll sum( int x )
return ans ;
}int main()
for( int i = 1 ; i < n ; ++i )
printf( "%lld " , sum( i ) ) ;
printf( "%lld\n" , sum( n ) ) ;
}	return 0 ;
}

三. 區間修改，區間查詢

這個也是利用了差分。

sum( n )

=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n-1]+a[n]

=c[1]+(c[1]+c[2])+…+(c[1]+c[2]+…+c[n])

=n*(c[1]+c[2]+…+c[n])-(0*c[1]+1*c[2]+2*c[3]+…+(n-1)*c[n]).

這裡就有乙個陣列，可以直接求和，那就是前面的 c[1]+c[2]+…+c[n]，後面那一部分可以看作另外乙個陣列

d[n] = (n-1)*c[n]

sum( n ) = n * 總和(c) - 總和(d)

這樣就等於是求和 (c) - 求和 (d）

#include #include #include using namespace std ;
#define lower( x ) x & -x 
typedef long long ll ;
int n , q , l , r ;
ll c[100005] ;
ll d[100005] ;
void update( ll *c , int x , ll add )
}ll sum( ll *c , int x )
return ans ;
}ll solve( int x )
int main()
char command[2] ;
while( q-- )
else
}	return 0 ;
}

今天對樹狀陣列學習的還不深，日後再總結。

樹狀陣列從一維到二維

樹狀陣列學習

樹狀陣列學習

樹狀陣列學習

樹狀陣列學習小結

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