極點法和極邊法的複雜度分別為o(n^4)和o(n^3)，當點集s的規模稍大時就難以適用了。為了滿足實際需要必須尋找更高效的演算法來構造凸包。
在引入新演算法之前首先來回顧一下經典的演算法思想：減治（decrease and conquer），注意不是分治（divided and conquer），二者稍有區別。簡單來講就是將問題劃分為乙個個簡單的小問題，減而治之，逐個求解，最終就能得到整個問題的解。
減治法的經典例子就是插入排序（insertion sort）。插入排序的過程可以歸結成下圖：
排序的過程中將序列分為兩部分：已排序部分（sorted）和未排序部分（unsorted）。每次排序都是從unsorted中拿出乙個元素，通過一次順序查詢過程在sorted部分中找到位置並插入其中。
整個插入排序的過程就是逐個元素的去「蠶食」unsorted部分的過程，連續的進行這個操作就會將整個問題解決。這種將大問題分解成小問題的減治過程，又被看成一種遞增的、增量式的策略（incremental strategy）。這種思想為解決凸包問題提供了新的思路：從逐個插入新點的角度構造凸包。
典型流程如下圖（標識為：極點/整體規模）：
插入新的點可能的情況有：新點對凸包有「貢獻」，例如5/5→6/6，6/6→7/7；新點也有可能沒有「貢獻」，例如7/7→7/8；還有可能使原先有「貢獻」的點失效，極點數量減少，例如7/8→6/9。那麼如何對不同情況進行處理呢？
構造過程的核心演算法應該是：判定待定點是否位於某多邊形內部（in-convex-polygon test）。再看上圖流程，實際上每步的核心就是判斷點位於多邊形內部還是外部，若落在外部，則新插入的點就是下乙個極點，否則捨棄。
考慮基本情況，給定乙個點和乙個多邊形，如何高效判斷該點與多邊形的位置關係呢？
一種思路是：我們可以先對多邊形進行乙個「預處理」，給每個點按序編號，模擬有序向量二分查詢的思想，來逐步縮小規模。如下圖：
首先任選一點為基準點（藍色點），然後用二分法選取其餘點的「中點「（預處理已經為所有點排了序），然後判斷基準點到終點的有向直線與待定點的位置關係（to-left test）。然後可將搜尋範圍減半，反覆上述過程，直到最後退化為平凡情況：三角形與點的位置關係（in-******** test）。
分析一下演算法的整體複雜度：整個演算法共log(n)步，每步的to-left test或in-******** test都為常數成本，則整體複雜度為log(n)。至此，我們似乎得到了乙個log(n)的「高效」演算法，但是這種方法真的可行嗎？
注意，每步都會將原凸包規模減半，也就是說凸包是動態的，隨時可能變化。這種方法和極點法或極邊法中靜態查詢的情況是完全不同的。
模擬插入排序的過程來解釋這個問題。為何插入排序的複雜度是n^2而非nlog(n)？每次插入時，既然sorted部分已經有序，為何不使用二分查詢來取代順序查詢（複雜度由n變為log(n)）？這不得不考慮sorted部分的動態性，每次插入後它的結構都會改變，而二分查詢必須在靜態結構中實現。當然可以使用std::vector這類支援按秩訪問（call by rank）的資料結構，但是插入時維護vector的成本依舊是線性複雜度。因此插入排序的總體複雜度是n^2。要處理的凸包與插入排序中sorted部分本質是一樣的，它們都不是靜態不變的結構，而要隨著演算法執行而不斷變化。若要每次在log(n)成本下完成待定點的in-convex-polygon test，必須將凸包儲存為類似vector的資料結構，但是每次向這種資料結構插入新點的成本依舊是線性的。因此對凸包進行的所謂「預處理」是沒有意義的，這種減治策略演算法複雜度最低應該為o(n^2)。
到現在問題依舊沒有解決，究竟如何用這種增量式的策略來構造凸包？其實複雜問題中最樸素、最基本的方法反而是最有效的。
in-convex-polygon test最基本的方法是什麼？就是按一定方向（約定為逆時針）凸包的每條邊和待定點做to-left test，一旦有一次test為false就能斷定點在凸包外面。這實際上就是將in-******** test推廣多邊形的情況。因此每次in-convex-polygon test的成本就會變成當前凸包的規模，也就是n，對於每個新點做一次in-convex-polygon test，構造演算法的整體複雜度就是o(n^2)。演算法的複雜度從極邊法的o(n^3)又下降了乙個數量級。
整個構造演算法可以分成兩大部分：
上述方法已經將第乙個問題解決了，剩下的就是如何插入新點的問題。考慮以下典型情況：
新點位於原凸包外部，如何將新點插入得到新凸包？直覺判斷應該是如下連線方法：
將新點x插入原凸包的過程，本質上就是尋找兩個連線點s和t，將x和t、s分別連線得到新的凸包。注意t和s兩點將整個原凸包邊界分為兩部分：st和ts兩個有向段。構造新凸包就要保留遠端st、捨棄近端ts。取代近端ts的兩條線就是x和t的連線xt和xs，被稱為切線（tangent）或者support line。
t、s二點的查詢就成了問題的關鍵。
我們在凸包上任取一點v，按逆時針方向v點會有乙個直接前驅點和直接後繼點。考察有向直線xv與點v直接前驅和直接後繼的位置關係（兩次to left test），記錄為乙個pattern表。
結果無非是四種情況：v的直接前驅和直接後繼相對於有向直線xv的位置是rl，lr，ll，rr。例如上圖黃色點v，是r和l；藍色點v分別是l和r。實際上凸包邊界st上所有點的pattern都為rl，ts上所有點的pattern都為lr。關鍵點在於：點s的pattern是ll，點t的pattern為rr。
因此對凸包邊界每個點做兩次to left test，判斷其pattern就可找出s和t，花費時間成本為常數。
再來回顧整個凸包構造演算法的兩大問題：in-convex-polygon test和插入新點。分開考慮只是為了將思路簡化，實際上這兩個問題可以套用乙個演算法，同時來解決。
具體做法就是，對於每個待定點x，不必特意去考慮它與凸包的位置關係，而是遍歷凸包上每乙個點。對於凸包邊界上的每乙個點，我們都能通過兩次to left test迅速判斷出pattern。
對於x位於凸包外部的情況，經過遍歷凸包的點，我們很容易就能得到s和t的位置，得到兩條support line，從而構造出新的凸包；而對於x位於凸包內部的情況，凸包邊界每個點都不可能出現rr或ll的情況，直接捨棄x即可。
每次遍歷凸包邊界點的複雜度為o(n)，整個構造過程要增量式的逐點考察，自然得到了乙個o(n^2)的incremental construction演算法。
這就是所謂增量構造法來構造凸包的過程。構造過程巧妙的避開了特殊處理諸如5/5→6/6、7/7→7/8、7/8→6/9等複雜情況，採用一致的思路逐個考察「新點」，最終完成凸包的構造。
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