關於約瑟夫環問題，無論是用鍊錶實現還是用陣列實現都有乙個共同點：要模擬整個遊戲過程，不僅程式寫起來比較煩，而且時間複雜度高達o(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。
為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第乙個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:
k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2並且從k開始報0。
現在我們把他們的編號做一下轉換：
k –> 0
k+1 –> 1
k+2 –> 2
… …
k-2 –> n-2
k-1 –> n-1
解x』 —-> 解為x
注意< x』就是最終的解 >
變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x』=(x+k)%n
如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 —- 這顯然就是乙個倒推問題！下面舉例說明：
假設現在是6個人（編號從0到5）報數，報到（2-1）的退出，即 < m=2>。那麼第一次編號為1的人退出圈子，從他之後的人開始算起，序列變為2,3,4,5,0，即問題變成了這5個人報數的問題，將序號做一下轉換：
2 –>0
3 –>1
4 –>2
5 –>3
0 –>4
現在假設x為0,1,2,3,4的解，x』設為那麼原問題的解（這裡注意，2,3,4,5,0的解就是0,1,2,3,4,5的解，因為1出去了，結果還是乙個），根據觀察發現，x與x』關係為x』=(x+m)%n，因此只要求出x，就可以求x』。x怎麼求出呢？繼續推導吧。0,1,2,3,4,，同樣是第二個1出列，變為（2,3,4,0），轉換下為
2 –>0
3 –>1
4 –>2
0 –>3
很簡單，同樣的道理，公式又出來了，x=(x」+m)%5，這裡變成5了。即求n-1個人的問題就是找出n-2的人的解，n-2就是要找出n-3，等等
因此，就可以回去看上面的推導過程了。
好了，思路出來了，下面寫遞推公式：
令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1
由於是逐級遞推，不需要儲存每個f[i]，程式也是異常簡單：
#include
int main()
printf ("\nthe winner is %d\n", s+1);
}
約瑟夫環問題數學解法
首先一開始的序列 序列1 1,2,3,4,n 2,n 1,n 此時出佇列的第乙個人，位置為k，號碼肯定是m n。這個應該沒有問題，也就是取餘操作使得陣列類似能夠有迴圈的功能。此時序列2 1,2,3,4,k 1,k 1,n 2,n 1,n 此時k出佇列，序列2中為n 1個人了。根據序列2，得到序列3 ...
約瑟夫環問題的數學解法
無論是用鍊錶實現還是用陣列實現都有乙個共同點 要模擬整個遊戲過程，不僅程式寫起來比較煩，而且時間複雜度高達o nm 當n，m非常大 例如上百萬，上千萬 的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規...
約瑟夫環的數學解法
約瑟夫環問題是一道經典的資料結構題目 問題描述 n個人 編號0 n 1 從0開始報數，報到 m 1 的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。一般我們採用乙個迴圈佇列來模擬約瑟夫環的求解過程，但是如果n比較大的時候，採用模擬的方式求解，需要大量的時間來模擬退出的過程，而且由於需要占用大量的記...