約瑟夫環的數學解法

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約瑟夫環問題是一道經典的資料結構題目

問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。

求勝利者的編號

。一般我們採用乙個迴圈佇列來模擬約瑟夫環的求解過程，但是如果n比較大的時候，採用模擬的方式求解，需要大量的時間來模擬退出的過程，而且由於需要占用大量的記憶體空間來模擬佇列中的n個人，並不是乙個很好的解法。

在大部分情況下，我們僅僅需要知道最後那個人的編號，而不是要來模擬乙個這樣的過程，在這種情況下，可以考慮是否存在著一種數學公式能夠直接求出最後那個人的編號。

我們知道第乙個人(編號一定是m%n - 1

) 出列之後，剩下的n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:

我們先看第乙個人出列後的情況，顯而易見，第乙個出列的人的編號一定是m%n -1,這個人出列後，剩下的n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環，這個約瑟夫環的第乙個人在最開始的環中的編號是k=m%n（就是第乙個出列的人的下乙個）

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2並且從k開始報0。

事實上，可以把這個環又對映成為乙個新的環：

k --- 0

k+1 --- 1

k+2 --- 2

... ....

k-2 -- n-1 (

k-2--n-2 by orc

)可以看出，這就是原問題中把n替換成n-1的情況，假設我們已經求出來在這種情況下最後勝利的那個人的編號是x，那個倒推回去的那個人的編號就正好是我們要求的答案，顯而易見，這個編號應該是(x+k)%n

那麼如何知道n-1個人下面的這個x呢，yes，就是n-2個人情況下得到的x'倒推回去，那麼如何知道n-2情況下的x'呢，當然是求n-3個人，這就是乙個遞迴的過程

f(1) = 0（f(1)就是現在還剩下1個人，那麼無論m為幾，這個人總會出列，因此f(1)=0)

f(n) = (f(n-1)+m)%n

那麼我們要求f(n)，就從f(1)倒推回去即可

int f(int n, int m)

這種方法比模擬的方法快多了，我們在碰到問題的時候，可以想一想是否有數學公式來求解