數學期望題目

bzoj4318

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osu 是一款群眾喜聞樂見的休閒軟體。

我們可以把osu的規則簡化與改編成以下的樣子:

一共有n次操作，每次操作只有成功與失敗之分，成功對應1，失敗對應0，n次操作對應為1個長度為n的01串。在這個串中連續的 x個1可以貢獻x^3 的分數，這x個1不能被其他連續的1所包含（也就是極長的一串1，具體見樣例解釋）

現在給出n，以及每個操作的成功率，請你輸出期望分數，輸出四捨五入後保留1位小數。

第一行有乙個正整數n,表示操作個數。接下去n行每行有乙個[0,1]之間的實數，表示每個操作的成功率。

只有乙個實數，表示答案。答案四捨五入後保留1位小數。 3

0.5

6.0【樣例說明】

000分數為0，001分數為1，010分數為1，100分數為1，101分數為2，110分數為8，011分數為8，111分數為27，總和為48，期望為48/8=6.0

n<=100000

定義dp[i]表示當前到第i個位置，得分的期望。

定義隨機變數x表示前i-1個位置（到第i-1處）的連續的1的長度（此處x理解為很多個按一定頻率分布的確定值->乙個長度）

定義l[i]表示到第i個位置，【連續1長度】的期望

那麼有l[i] = pi * (x + 1)這裡的x是很多個值，所以它們按頻率計算後的值就是l[i-1]

我們注意（a的期望）*（b的期望）不一定等於（a*b的期望）

所以平方關係需要另外處理。

定義l2[i]表示到第i個位置，【連續1長度平方】的期望

那麼l2[i] = pi * (x + 1)^2 這裡的x仍然是很多個值（很多個長度）

=> l2[i] = pi * (x^2 + 2*x + 1) x^2中，x是很多個值，x^2表示的是位置i-1的連續1長度平方，根據頻率計算後就應該是l2[i-1]

所以l2[i] = pi * (l2[i-1]+2*l[i-1]+1)

定義l3[i]表示到第i個位置，【連續1長度立方】的期望

那麼l3[i] = pi * (x + 1)^3 這裡x含義同上

=>l3[i] = pi * (x^3 + 3 * x^2 + 3 * x + 1) => pi * (l3[i-1]+3*l2[i-1]+3*l[i-1]+1)

對於當前位置i，dp[i] = dp[i-1] + (1- pi)*l3[i-1] 表示當前位置i，前面i-1位置處的連續1串有(1-pi)的可能會斷掉（i處為0）。

最後全部完成後一定會斷掉，所以dp[n] += l3[n]

code:

#include#include#include#include#includeusing namespace std;
const int max = 100000;
int n;
double l[max + 5], l2[max + 5], l3[max + 5];
int main()
rt += l3[n];
printf("%.1lf\n", rt);
return 0;
}

bzoj1462

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有n種不同的郵票，皮皮想收集所有種類的郵票。唯一的收集方法是到同學凡凡那裡購買，每次只能買一張，並且買到的郵票究竟是n種郵票中的哪一種是等概率的，概率均為1/n。但是由於凡凡也很喜歡郵票，所以皮皮購買第k張郵票需要支付k元錢。現在皮皮手中沒有郵票，皮皮想知道自己得到所有種類的郵票需要花費的錢數目的期望。

一行,乙個數字n n<=10000

要付出多少錢. 保留二位小數

321.25

定義f[i]表示手上已經有i種不同的郵票，還需要買f[i]張才可能得到n種不同的郵票

考慮已經有i種郵票，現在要買到一種與前i種郵票不相同郵票需要買多少張

買一次就買到：(n-i)/n*1

買兩次：i/n*(n-i)/n*2

買3次：(i/n)^2*(n-i)/n*3

(n-i)/n * (1 + i/n*2 + (i/n)^2*3 + ...... )

趨近於無窮，求和後為(n-i)/n*(n/(n-i))^2=n/(n-i)

所以f[i] = f[i+1]+n/(n-i)

定義g[i]表示手上已經買到i種不同的郵票，還需要花g[i]元才可能買到n種不同郵票

有兩種可能，第一是i/n的概率買到重複的，計算時幫後面的f[i]次都墊付1元：i/n*(g[i]+f[i]+1)

第二是(n-i)/n的概率買到新的，計算時仍然墊付：(n-i)/n*(g[i+1]+f[i+1]+1)

g[i] = i/n*(g[i]+f[i]+1)+(n-i)/n*(g[i+1]+f[i+1]+1)

code：

#include#include#include#include#includeusing namespace std;
const int max = 100000;
int n;
double f[max + 5], g[max + 5];
int main()

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桌面上有r張紅牌和b張黑牌，隨機打亂順序後放在桌面上，開始一張一張地翻牌，翻到紅牌得到1美元，黑牌則付出1美元。可以隨時停止翻牌，在最優策略下平均能得到多少錢。

一行輸入兩個數r,b,其值在0到5000之間

在最優策略下平均能得到多少錢。

5 14.166666

注意定義期望dp時定義應該是乙個未知的值，是乙個期望的值，而不是確定的值，所以本題不能定義為f[i][j]手上拿到i張紅，j張黑得到的錢數，

而應該是f[i][j]手上拿到i張紅j張黑，到拿到所有的牌，還期望得到多少錢

所以f[i][j] = (r-i)/(r+b-i-j)*(f[i+1][j]+1)+(b-j)/(r+b-i-j)*(f[i][j+1]-1)

code:

#include#include#include#include#includeusing namespace std;
int r, b;
double f[2][5005];
int main()
printf("%.6f\n",(int)(f[tg^1][0]*1000000)/1000000.0);
return 0;}/*
5 14.166666
*/

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