隨機變數的數學期望
【引入】
一射手進行打靶練習，規定射入區域 $e_2$ 得2分，射入區域 $e_1$ 得1分，脫靶，即射入區域 $e_0$ ，得0分。
射手一次射擊得分數 $x$ 是一隨機變數。設 $x$ 的分布律為 $p\ =p_k,k=1,2,…$
現在射擊 $n$ 次，其中得0分的有 $a_0$ 次，得1分的有 $a_1$ 次，得2分的有 $a_2$ 次，$a_0+a_1+a_2=n$ 。
他射擊 $n$ 次得分的總和為 $a_0\times 0+a_1\times 1+a_2\times 2$ 。
於是平均一次射擊的得分數為
$$\frac=\frac=0\frac+1\frac+2\frac=\sum_^k\frac$$
這裡，$a_k/n$是事件 $$ 的頻率。
在第五章將會講到，當 $n$ 很大時，$a_k/n$ 在一定意義下接近於事件$\$的概率 $p_k$ 。
就是說，在試驗次數很大時，隨機變數 $x$ 的觀察值的算術平均 $\sum\limits_^k\frac$ 在一定意義下接近於 $\sum\limits_^kp_k$ ，
我們稱 $\sum\limits_^kp_k$ 為隨機變數 $x$ 的數學期望或均值，一般有以下的定義。
【定義】
設離散性隨機變數 $x$ 的分布律為 $p\ =p_k,k=1,2,…$ 若級數 $\sum\limits_^x_kp_k$ 絕對收斂，則稱級數 $\sum\limits_^x_kp_k$ 的和為隨機變數 $x$ 的數學期望，記為 $e(x)$ 。
即：$$e(x)=\sum_^x_kp_k\tag$$
設連續型隨機變數 $x$ 的概率密度為 $f(x)$ ，若積分 $\int_^xf(x)dx$ 絕對收斂，則稱積分 $\int_^xf(x)dx$ 的值為隨機變數 $x$ 的數學期望，記為 $e(x)$ 。
即：$$e(x)= \int_^xf(x)dx\tag$$
數學期望簡稱期望，又稱為均值。
數學期望 $e(x)$ 完全由隨機變數 $x$ 的概率分布所確定。
若 $x$ 服從某一分布，也稱 $e(x)$ 是這一分布的數學期望。
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】泊松分布
設$x\sim \pi (\lambda)$ ，求 $e(x)$ 。
解：$x$ 的分布律為
$$p\ =\frac},k=0,1,2,…,\lambda >0$$
$x$ 的數學期望為
$$e(x)=\sum_^k\frac}=\lambda e^\sum_^\frac}=\lambda e^·e^\lambda=\lambda$$
即 $e(x)=\lambda$
【例7】均勻分布
設 $x\sim u(a,b)$ ，求 $e(x)$ 。
解：$x$ 的概率密度為
$$f(x)=\begin\frac,& \textrm^xf(x)dx=\int_^\fracdx=\frac$$
即：數學期望位於區間 $(a,b)$ 的中點。
乙個隨機變數的函式的數學期望
例如：飛機機翼受到壓力 $w=kv^2$ ( $v$ 是風速，$k>0$ 是常數)的作用，需要求 $w$ 的數學期望，這裡 $w$ 是隨機變數 $v$ 的函式。
這時，可以通過下面的定理來求 $w$ 的數學期望。
【定理】設 $y$ 是隨機變數 $x$ 的函式：$y=g(x)$ （ $g$ 是連續函式）
$(i)$ 如果 $x$ 是離散型隨機變數，它的分布律為 $p\ =p_k,k=1,2,…$，若 $\sum\limits_^g(x_k)p_k$ 絕對收斂，則有
$$e(y)=e[g(x)]=\sum_^g(x_k)p_k\tag$$
$(ii)$ 如果 $x$ 是連續型隨機變數，它的概率密度為 $f(x)$ ，若 $\int_^g(x)f(x)dx$ 絕對收斂，則有
$$e(y)=e[g(x)]=\int_^g(x)f(x)dx\tag$$
定理的重要意義在於當我們求 $e(y)$ 時，不必算出 $y$ 的分布律或概率密度，而只需要利用 $x$ 的分布律或概率密度就可以了。
定理的證明超出了本書的範圍，我們只對下述特殊情況加以證明。
證：（省略，日後再補）
兩個或兩個以上隨機變數的函式的數學期望
例如，設 $z$ 是隨機變數 $x,y$ 的函式 $z=g(x,y)$ （ $g$ 是連續函式），那麼，$z$ 是乙個一維隨機變數。
若二維隨機變數 $(x,y)$ 的概率密度為 $f(x,y)$ ，則有
$$e(z)=e[g(x,y)]=\int_^g(x,y)f(x,y)dxdy\tag$$
這裡設上式右邊的積分絕對收斂。
又若 $(x,y)$ 為離散型隨機變數，其分布律為 $p\ =p_,i,j=1,2,…$，則有
$$e(z)=e[g(x,y)]=\sum_^\sum_^g(x_i,y_j)p_\tag$$
這裡設上式右邊的級數絕對收斂。
【例8】
【例9】
【例10】
【例11】
數學期望的重要性質
1.設 $c$ 是常數，則有 $e(c)=c$ 。
證：2.設 $x$ 是一隨機變數，$c$ 是常數，則有 $e(cx)=ce(x)$
證：3.設 $x,y$ 是兩個隨機變數，則有 $e(x+y)=e(x)+e(y)$
這一性質可以推廣到任意有限個隨機變數之和的情況。
證：4.設 $x,y$ 是相互獨立的隨機變數，則有 $e(xy)=e(x)e(y)$
這一性質可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機變數之積的情況。
證：【例12】
【例13】
數學期望和樣本均值
定義 試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，反映隨機變數平均取值的大小。期望 neq 樣本均值。數學期望是從概率分布角度得到的，是個確定的常數，也可稱為總體均值，樣本均值是來自有限個樣本，是從統計的角度得到的。比如我們進行擲骰子，擲了六次，點數分別為2，2，2，4，4，4，這六次的觀察就是我們的...
數學期望（360）
題目描述 小明同學最近學習了概率論，他了解到數學期望的定義 設x為乙個隨機變數，x可以取n種不同的取值x1,x2,x3,xn。取x1的概率為p1,取x2的概率為p2,以此類推。定義隨機變數x的數學期望為 e x x1 p1 x2 p2 xn pn。小明回到家中，他想程式設計計算數學期望，你能幫助他麼...
數學期望題目
bzoj4318 time limit 2 sec memory limit 128 mb osu 是一款群眾喜聞樂見的休閒軟體。我們可以把osu的規則簡化與改編成以下的樣子 一共有n次操作，每次操作只有成功與失敗之分，成功對應1，失敗對應0，n次操作對應為1個長度為n的01串。在這個串中連續的 x...