今天這個子任務不會做qwq…….
正解是卡特蘭數。
卡特蘭數
定義：h0=
1,h1
=1。
遞推關係式：hn
=∑n−
1i=0
hi×h
n−i−
1 。
通項公式： hn
=(n2
n)n+
1 ， 或 h
n=(n
2n)−
(n−1
2n) 。
應用在乙個凸多邊形中，通過若干條互不相交的對角線，把這個多邊形劃分成了若干個三角形。任務是鍵盤上輸入凸多邊形的邊數n，求不同劃分的方案數f（n）。比如當n=6時，f（6）=14。
如果純粹從f（4）=2，f（5）=5，f（6）=14，……，f（n）=n慢慢去歸納，恐怕很難找到問題的遞推式，我們必須從一般情況出發去找規律。
因為凸多邊形的任意一條邊必定屬於某乙個三角形，所以我們以某一條邊為基準，以這條邊的兩個頂點為起點p1和終點pn（p即point），將該凸多邊形的頂點依序標記為p1、p2、……、pn，再在該凸多邊形中找任意乙個不屬於這兩個點的頂點pk（2<=k<=n-1），來構成乙個三角形，用這個三角形把乙個凸多邊形劃分成兩個凸多邊形，其中乙個凸多邊形，是由p1，p2，……，pk構成的凸k邊形（頂點數即是邊數），另乙個凸多邊形，是由pk，pk+1，……，pn構成的凸n-k+1邊形。
此時，我們若把pk視為確定一點，那麼根據乘法原理，f（n）的問題就等價於——凸k多邊形的劃分方案數乘以凸n-k+1多邊形的劃分方案數，即選擇pk這個頂點的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以選2到n-1，所以再根據加法原理，將k取不同值的劃分方案相加，得到的總方案數為：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此處，再看看卡特蘭數的遞推式，答案不言而喻，即為f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。
最後，令f（2）=1，f（3）=1。
未完待續。
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