給定節點ni
=0，記其上分片
k 次多項式、k−
1次連續可導函式構成的空間為
s 。顯然任意s∈
s 應有s(
x)=∑
i=0k
cixi
+1k!
∑i=1
n−1d
i[x−
ξi]k
+,其中[⋅
]+=max
。從此可看出
dims=k
+n，然而這個形式的基底為全域性的，其支撐並不區域性，故無法避免大數加小數的誤差。以下尋找
s 的區域性性基。要求s
的一函式組滿足在[ξ
0,ξn
]∖[ξ
p,ξq
] 外為零。設ϕ(
x)=∑
i=pq
di[x
−ξi]
k+,
即有0=∑
i=pq
di(x
−ξi)
k，x∈
[ξq,
ξn]
即0=∑
i=pq
diξj
i,0≤
j≤k.
當q−p=
k 時只有0解。當q−
p≥k+
1 時解空間維數為q−
p−k ，特別地，當q−
p=k+
1 時有解di
=∏j=
pj≠i
p+k+
11ξj
−ξi,
i=p,
⋯,p+
k+1. 記b
kp(x
)=∑i
=pp+
k+1⎡
⎣⎢⎢∏
j=pj
≠ip+
k+11
ξj−ξ
i⎤⎦⎥
⎥[x−
ξi]k
+ 為b樣條函式。一共有n−
k 個，顯然線性無關。可以證明（暫略），bk
p 呈鐘型分布，即b樣條函式並不是插值函式。
顯然b樣條具有重要的區域性性性質，故尋求
s 的b樣條基底。知還差2k
個b樣條才能構成
s 一基。故可選取在[ξ
0,ξn
] 外的節點來構造滿足條件的b樣條函式。按順序取節點n+
ki=−
k 。顯然n−
1p=−
k 線性無關，且落在
s 中。故有
定理n−
1p=−
k 構成
s 一基。
記節點為p+
k+1i
=p，存在關係bk
p(x)
=(x−
ξp)b
k−1p
(x)+
(ξp+
k+1−
x)bk
−1p+
1(x)
ξp+k
+1−ξ
p.
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