最小生成樹與最短路徑演算法

最小生成樹（

prime

演算法、kruskal

演算法）和

最短路徑演算法（

floyd

、dijkstra

）

帶權圖分為有向和無向，無向圖的最短路徑又叫做最小生成樹，有prime演算法和kruskal演算法；有向圖的最短路徑演算法有dijkstra演算法和floyd演算法。

生成樹的概念：聯通圖g的乙個子圖如果是一棵包含g的所有頂點的樹，則該子圖稱為g的生成樹生成樹是聯通圖的極小連通子圖。所謂極小是指：若在樹中任意增加一條邊，則將出現乙個迴路；若去掉一條邊，將會使之程式設計非連通圖。生成樹各邊的權值總和稱為生成素的權。權最小的生成樹稱為最小生成樹，常用的演算法有prime演算法和kruskal演算法。

最短路徑問題旨在尋找圖中兩節點之間的最短路徑，常用的演算法有：floyd演算法和dijkstra演算法。

構造最小生成樹一般使用貪心策略，有prime演算法和kruskal演算法

prime

演算法的基本思想

1.清空生成樹，任取乙個頂點加入生成樹

2.在那些乙個端點在生成樹里，另乙個端點不在生成樹里的邊中，選取一條權最小的邊，將它和另乙個端點加進生成樹

3.重複步驟2，直到所有的頂點都進入了生成樹為止，此時的生成樹就是最小生成樹

int prime(int cur)
for(int i = 1; i < m; i ++)    
}visit[index] = true;
sum += mincost;
for(int j = 0; j < m; j ++)    
}    
} return sum;    
}

kruskal

演算法：構造乙個只含n個頂點，而邊集為空的子圖，若將該子圖中各個頂點看成是各棵樹的根節點，則它是乙個含有n棵樹的森林。之後，從網的邊集中選取一條權值最小的邊，若該邊的兩個頂點分屬不同的樹，則將其加入子圖，也就是這兩個頂點分別所在的兩棵樹合成一棵樹；反之，若該邊的兩個頂點已落在同一棵樹上，則不可取，而應該取下一條權值最小的邊再試之。依次類推，直至森林只有一棵樹。kruskal演算法能夠在並查集的基礎很快的實現。

#include#includeusing namespace std;
const int size = 128; 
int n;
int father[size];
int rank[size];
//把每條邊成為乙個結構體，包括起點、終點和權值 
typedef struct node
edge[size * size / 2];
//把每個元素初始化為乙個集合 
void make_set()
return ;
}//查詢乙個元素所在的集合,即找到祖先 
int find_set(int x)
return father[x];
}//合併x,y所在的兩個集合：利用find_set找到其中兩個
//集合的祖先，將乙個集合的祖先指向另乙個集合的祖先。
void union(int x, int y)
if(rank[x] < rank[y])
else    
father[y] = find_set(x);
}return ;
}bool cmp(pnode a, pnode b)
int kruskal(int n) //n為邊的數量 
}return sum;    
}int main()
char x, y;
int m, weight;
int cnt = 0;
for(int i = 0; i < n - 1; i ++)
}sort(edge, edge + cnt, cmp); //對邊按權從小到大排序 
cout << kruskal(cnt) << endl; 
}    
}

最短路徑問題旨在尋找圖中兩節點之間的最短路徑，常用的演算法有：floyd演算法和dijkstra演算法。

floyd

演算法是最簡單的最短路徑演算法，可以計算圖中任意兩點間的最短路徑 folyd演算法的時間複雜度是o(n3),如果是乙個沒有邊權的圖，把相連的兩點間的距離設為dist[i][j] = 1，不相連的兩點設為無窮大，用 floyd演算法可以判斷i,j兩點是否有路徑相連。

void floyd()
}    
}    
}    
}

dijkstra演算法

用來計算從乙個點到其他所有點的最短路徑的演算法，複雜度o(n2)。

void dijkstra(int s)   //s是起點
int index;
for(int i = 1; i < n; i ++)    
}visit[index] = true;
for(int j = 0; j < n; j ++)    
}    
}}

最小生成樹與最短路徑演算法

最短路徑與最小生成樹

最短路徑最小生成樹

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最短路徑 最小生成樹

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