簡單形式：
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定理：如果有n+1個物體被放進n個盒子，那麼至少有乙個和紫包含兩個或者更多的物體。
定理非常的簡單，但是真正用好這個定理卻需要一定的功底。
eg1.以為西洋棋大師有11周的時間備戰一場錦標賽，他決定每天至少下一盤西洋棋，但是為了不使自己過於疲勞，他還決定在每週不能下超過12盤。證明存在連續若干天，期間這位大師恰好下了21盤棋。
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證明：
鴿巢原理的應用最終就是要找到物體和盒子，並且保證物體的數量要比盒子的數量多。
令a1是第一天所下的盤數，a2是第一天和第二天下所下的盤數，以此類推，從而當想知道第n+1到第m天之間的盤數，只需要用am-an就能求出來了。（這裡你是否看到了樹狀陣列的影子）
所以 1<=a1<=a2<=........<=a77<=132
所以22<=a1+21<=a2+21<=.......<=a77+21<=153
於是這154個數在1到153之間，運用鴿巢原理,必然存在ai = aj+21。
即 ai - aj = 21，從第 j+1 天到第 i 天共下了21盤棋。
加強形式（可以轉換成平均原理）：
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令q1,q2.......qn為正整數。如果將
q1+q2+......+qn+n-1
個物體放入n個盒子，那麼，或者第乙個盒子至少含有q1個物體，或者第二個盒子至少含有q2個物體，.............或者第n個盒子至少含有qn個物體。
eg2.證明每個由n^2+1的實數構成的序列a1,a2,............a(n^2+1)或者含有長度為n+1的遞增子串行或者含有長度為n+1的遞減子串行。
這裡的證明比較複雜，就不給出了
ramsey定理：
乙個比較流行的理解是：
在6個（或更多）的人中，或者有3個人，他們中的每兩個人都相互認識，或者有3個人，他們沒兩個人都相互不認識。
推廣為較一般的形式：
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kp -->km, kn
即表示：對於給定的m和n，存在乙個整數p，使得如果kp的邊數被塗成紅色或者是藍色，那麼或者有乙個紅色的km，或者有乙個藍色的kn。
平凡ramsey數：
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r(2, n) = r(n ,2) = n
一些非平凡ramsey數：
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r(3, 3) = 6
r(3, 4) = 9
r(3, 5) = 14
r(3, 6) = 18
r(3, 7) = 23
r(3, 8) = 28
r(3, 9) = 36
40<=r(3, 10)<=43
r(4,4) = 18
r(4,5) = 25
43<=r(5,5)<=55
在推廣為更為一般的形式，我們把其中的點對看成是有t個元素構成的子集，當t 等於1 的時候，即是上面的那種形式：
令k(t,n)表示n個元素的集合眾所有的t 個元素的子集的集合。
ramsey定理：
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給定乙個整數t>=2及整數q1,q2,.......qk>=t ，存在乙個整數p，使得
k(t, n) --> k(t, q1)m, k(t, q2), ...........k(t, qk) 並且
r1(q1, q2, .........qk) = q1+q2+.........+qk-k+1 （鴿巢原理的加強形式）
下面有幾道很有意思的題：
1.用鴿巢原理證明，有理數m/n展開的十進位制小數最終都是要有迴圈的。例如：
34 478/99 900 = 0.345 125 125 125 ............
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首先這裡m/n肯定是不能整除的，不能整除等價於當我們把m和n進行約分後，兩者必然互質，即兩者的最大公約數為1，即可以寫成：
am + bn = 1
說明m/n最後肯定可以表示為 1/n 的形式，又因為 n 的因子不存在2和5（除法時，分子會乘以10，所以就約掉了2和5）。所以必然有：
a*10^x + bn = 1
這裡我們找到了乙個迴圈，從而證明了有理數m/n展開的十進位制小數最終是要有迴圈的。
2.乙個屋子內有10個人，他們當中沒有人超過60歲，但是又至少不低於1歲。證明，總是能找出兩組人，各組人的年齡和相同的。
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證明：
1<=a1<=a2<..................<=a1+a2<=..........<=a1+a2+a3+....a10<=600
共有1023種組合，所以必然存在。
總結：
對於鴿巢原理的核心就是：找到「盒子」以及「物品」，並且保證物品的「數量」要多於「盒子」
鴿巢原理及其擴充套件 Ramsey定理
咕咕咕！然鵝大家還是最熟悉我 a陣列 but 我也很重要 我好像也出現不少次 以上純屬灌水 別名 鴿籠原理。狄利克雷抽屜原理。最簡單的一種形式 有m 1m 1m 1只鴿子，mm m個籠子，那麼至少有乙個籠子有至少兩隻鴿子。當然，換個角度來說 有m 1m 1m 1只鴿子，mm m個籠子，那麼至少有乙個...
鴿巢原理及其擴充套件 Ramsey定理
咕咕咕！然鵝大家還是最熟悉我 a陣列 but 我也很重要 我好像也出現不少次 以上純屬灌水 別名 鴿籠原理。狄利克雷抽屜原理。最簡單的一種形式 有m 1 m 1只鴿子，m m個籠子，那麼至少有乙個籠子有至少兩隻鴿子。當然，換個角度來說 有m 1 m 1只鴿子，m m個籠子，那麼至少有乙個籠子是空的。...
鴿巢原理 Ramsey數
這個原理聽起來會非常簡單,但是實際運用卻需要極大的構思能量 把n 1個物體放入n個盒子中，則至少有乙個盒子內有兩個或兩個以上物體。什麼當作盒子什麼當作物體是關鍵 例1 在邊長為2的正方形中5個點，至少存在兩個點，使得它們之間的距離小於等於2 2 顯然成立 例2 經典 任意一群人中至少存在兩個人，他們...