揹包01問題初理解

揹包問題（knapsack problem）是一種組合優化的np完全問題。問題可以描述為：給定一組物品，每種物品都有自己的重量和**，在限定的總重量內，我們如何選擇，才能使得物品的總**最高。問題的名稱**於如何選擇最合適的物品放置於給定揹包中。

具體理解可以直接通過下面的例子來理解揹包問題：

揹包問題的乙個例子：應該選擇哪些盒子，才能使**盡可能地大，而保持重量小於或等於15 kg？

我們有n種物品，物品j的重量為wj，**為pj。

我們假定所有物品的重量和**都是非負的。揹包所能承受的最大重量為w。

如果限定每種物品只能選擇0個或1個，則問題稱為0-1揹包問題。

01揹包問題解法：

假定w1, …, wn和w都是正整數。我們將在總重量不超過y的前提下，前j種物品的總**所能達到的最高值定義為a(j, y)。

a(j, y)的遞推關係為：

a(0, y) = 0

a(j, 0) = 0

如果wj > y, a(j, y) = a(j - 1, y)

如果wj ≤ y, a(j, y) = max

通過計算a(n, w)即得到最終結果。為提高演算法效能，我們把先前計算的結果存入表中。因此演算法需要的時間和空間都為o(nw)，通過對演算法的改進，空間的消耗可以降至o(w)。

下面我們通過解上面的例子來理解01揹包問題的解法：

題目描述：

有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？

我們先來看一張表：

我們只要弄清楚**中a(n)怎麼計算的，我們就知道了01揹包演算法的思想了。

首先，我們需要知道怎麼去看這個**。在**上也做了簡要的說明。這裡我再新增一點說明。橫座標，表示揹包最多承載多少重量，例如，在最後一列，w=10時即為我們本題所要求解的價值總和。我們可以看到，15即我們我們想求的最終答案。

那麼，這個**是怎麼計算出來的呢？其實就是套公式就ok了。

為了描述方便，將第一第一列成為a0(即橫座標上為0，縱座標上為a，值為0的那個點)。例如a3=6。

我們套用前面的遞推公式：

a(0, y) = 0

a(j, 0) = 0

如果wj > y, a(j, y) = a(j - 1, y)

如果wj ≤ y, a(j, y) = max

首先，計算e0的值，明顯a(j, 0) = 0，所以為0；同理，在0列，全為0。這也橫好理解，在包總共可以裝0的重量下，所放物品價值總值一定為0；

然後計算e1，因為包總共可以裝重量為1的物體，然e重量為4，所以一定裝不下，所以包可以存放物品總價值為0，同理可得e1~e3全為0；

然後，我們開始考慮計算b2的值。因為包總共可以裝2質量的物體，而b剛好重量為2，價值為3，所以我們不難得出此時a=3。同理可得a2=6;

接下來，是整個表最重要的部分。我們通過計算b4和a6來理解揹包的過程。接下來我們就需要套用公式：a(j, y) = max。首先，我們計算b4的值，b4的值是在兩個值中取乙個最大的值，我們乙個乙個來算，a(j-1,y)這個值即在b3=a(j,y)的下面乙個格仔，即c4=a(j-1,y)，在計算b4之前，我們已經用前三步將c4=6計算出來了，所以我們這裡很容易就得出a(j-1,y)=c4=6。接下來計算另外乙個值pj + a(j - 1, y - wj)，在計算之前，有必要弄清楚未知量的含義，pj表示當前物品的價值，wj表示當前物品的重量。那麼在計算b3物體時，pj + a(j - 1, y - wj)應該等於 3+a(j-1,4-3)。其中的j-1表示b3的下一行。即a(j-1,1)表示c1。查表可以c1=0，即最終為3+0=3；兩個值我們都計算出來了，乙個等於6，乙個等於3，所以這裡我們應該取最大值6。同理，計算a6的值，應該為a6=max=max=max=12。

ps. 其中表中還有一處錯誤，b9=max=max=10，而表中誤寫成9。不想再畫圖了，所以就沒有修正了。

最後，我們來理解以下，最後一步為什麼是這個樣子的。可以理解的是a(j-1,y)表示我有乙個承重為多少的包，當只有abcd（不包括當前物體）四件可選時，這個包能裝入的最大價值。

pj + a(j - 1, y - wj)表示的是在我包括當前物體物體的情況下，這是揹包能裝納入的最大價值為多少。

如此理解，應該還算是比較清晰把。

最後，附上c++實現**：

#include
using
namespace
std;
int main();//物品的重量 
int p=;// 物品的價值 
int n=5,y=10;       //n表示有5個物體，y表示包可以裝的重量為10 
int a[11][11]=;        //輔助資料 
for(int j=1;j1;j++)}}
cout
<
return
0;}

執行結果就不截圖了，很簡單。自己可以動手試一試~~

揹包01問題初理解

01揹包問題深度理解

01揹包問題的理解

揹包問題 01揹包問題

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01揹包問題的理解

揹包問題 01揹包問題

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