對0 1揹包問題的理解

首先宣告的是這是一篇非常非常基礎的對0-1揹包問題的理解。

這兩天看了動態規劃初步，看到了0-1揹包問題。看到這裡的時候感覺理解有點困難。

問題簡介：有乙個體積為c的揹包，要往裡面裝n中物品，第i種物品的體積為vi，質量為wi，求出揹包裡面最多能裝下多重的物品。

劉汝佳對這個問題的分析是引用了前面的回朔法來理解，但是我覺得這種理解的方法還是有些抽象。

他給出了乙個狀態轉移方程，d(i,j)=max。d(i,j)的意義是在第i層剩餘體積為j 時的最大重量。因為是回朔法，所以答案就應當是d(i,j)。

**如下：（d[n+1][ ]這些元素所有的值都是0）

for(int i = n ; i >= 1; i--)
for(int j = 0; j <= c; ++j)

剛開始的時候對這個**以及他的狀態轉移方程都不是很理解。參考一下前面的硬幣問題。

硬幣問題簡介：有n中面值的硬幣，現在要用他們來表示s元錢，求使用的硬幣最多的數量以及最少的數量。

這裡，很容易列出狀態轉移方程（以最少為例），money[i]=min。理解起來也很簡單，money[i]表示的是當錢幣總和為i 時，使用的最少的錢幣數量。v[i]的含義就是第[i]種錢幣的面值。當錢幣的總和為i 時，使用的錢幣數量最小值就是當前已經得到的最小值與從總面值為i-vi到i的錢幣數量的最小值中更小的那個。

**如下：

for(int i=1;i<=s;i++)
min[i]=inf;
for(int i=1;i<=s;++i)//s是要達到的總和 
for(int j=1;j<=n;++j)//n是錢幣面值的種類
if(i>v[i])min[i] = min[i] < (min[i-v[j]]+1) ? min[i] : min[i-v[j]]+1 ;

這樣，利用狀態轉移方程就列出了乙個遞推關係式。我們並不關心是如何達到 i-vi 這個總和的，我們只需要知道從 i-vi 到 i 需要增加乙個硬幣即可。

回過頭來看現在面臨的0-1揹包問題。為什麼這個問題會使用有兩個引數的狀態轉移方程呢？在硬幣問題中，每種硬幣的數量是可以無限增加的，但是在揹包問題中，每個物品的數量卻只有乙個。這就造成了兩個問題的細微差別。

現在用這種方式來理解揹包問題，d(i,j)表示從 i+1 個物品中選擇乙個出來使體積達到 j 的時候重量的最大值（有點繞）。

從**中看出，取物品的順序給限定了（for(int i=n;i>=1;--i)），表示是從最後乙個物品開始取，乙個乙個地放進揹包，這樣就使得取的物品不會重複。陣列的第二維就表示目前揹包中已經有的體積（跟硬幣問題一樣，我們並不關心是怎麼樣到達這個體積的，我們只關心從體積 i-v[i] 到i 會增加的重量是 w[i]）。

在後面又介紹了另一種用於揹包問題的方法，是這種方法「對稱」的方法。感覺用我的那種理解方法的話，這種方法更得當

for(int i = 1;i<=n;++i)
for(int j=0;j<=c;++j)

發現了嗎？這裡跟上面的**不同之處就是外層迴圈的順序變了。在這裡，放物品的順序就是從第1個開始往裡面放，一直放到最後乙個。所以，最終的答案也就是f(n,c)

對0 1揹包問題的理解

01揹包問題的理解

揹包01問題初理解

01揹包問題深度理解

對0 1揹包問題的理解

01揹包問題的理解

揹包01問題初理解

01揹包問題深度理解

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