4 2 線性代數linalg模組

linalg是linear algebra的縮寫，numpy和scipy都提供了線性代數函式庫linalg，scipy的線性代數庫比numpy更加全面。

linalg包含了許多方陣（包括矩陣）的基本運算函式，scipy.linalg.det()函式計算方陣的行列式，示例**：

>>> from scipy import linalg
>>> arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>> linalg.det(arr)
-2.0
>>> arr = np.array([[3, 2],[6, 4]])
>>> linalg.det(arr) 
0.0>>> linalg.det(np.ones((3, 4)))        #無論行列式還是逆矩陣只適用於n階矩陣的求解
traceback (most recent call last):
...valueerror: expected square matrix

scipy.linalg.inv()函式計算方陣的逆，示例**：

>>> arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>> iarr = linalg.inv(arr)
>>> iarr
array([[-2. ,  1. ],
[ 1.5, -0.5]])
>>>np.allclose(np.dot(arr, iarr), np.eye(2))      #numpy.allclose()函式用於比較兩方陣所有對應元素值，如果完全相同返回真(true)，否則返回假(false)
true

以下計算奇異陣（行列式為0）的逆，其結果將會報錯（linalgerror），示例**：

>>>arr = np.array([[3, 2], [6, 4]])
>>>linalg.inv(arr)
traceback (most recent call last):
......linalgerror: singular matrix

scipy.linalg.norm()函式計算方陣的模，示例**：

>>>a = np.matrix(np.random.random((2, 2)))
>>>a
>>>linalg.norm(a)
>>>linalg.norm(a, 1)
>>>linalg.norm(a, np.inf)

scipy.linalg.solve(a,b)和numpy.linalg.solve(a,b)可以用來解線性方程組ax=b，即計算x=a-1b。這裡，a是mn的方形矩陣，x和b是長為m的向量。有時候a是固定的，需要對多組b進行求解，因此第二個引數也可以是mn的矩陣b。這樣計算出來的x也是m*n的矩陣，相當於計算a-1b。

在一些矩陣公式中經常會出現類似於a-1b的運算，它們都可以用solve(a, b)計算，這要比直接逆矩陣然後做矩陣乘法更快捷一些，下面的程式比較solve()和逆矩陣的運算速度，示例**：

import numpy as np
from scipy import linalg
m, n = 500, 50
a = np.random.rand(m, m)
b = np.random.rand(m, n)
x1 = linalg.solve(a, b)
x2 = np.dot(linalg.inv(a), b)
print(np.allclose(x1, x2))
%timeit linalg.solve(a, b)
%timeit np.dot(linalg.inv(a), b)

n*n的矩陣a可以看作n維空間中的線性變換。若x為n維空間中的乙個向量，那麼a與x的矩陣乘積就是對x進行線性變換之後的向量。如果x是線性變換的特徵向量，那麼經過這個線性變換之後，得到的新向量仍然與原來的x保持在同一方向上，但其長度也許會改變。特徵向量的長度在該線性變換下縮放的比例稱為特徵值。即特徵向量x滿足如下等式，λ的值可以是乙個任意複數：ax=λx。

下面以二維平面上的線性變換矩陣為例，演示特徵值和特徵向量的幾何含義。通過linalg.eig(a)計算矩陣a的兩個特徵值evalues和特徵向量evectors，在evectors中，每一列是乙個特徵向量。示例**：

>>> a = np.array([[1, -0.3], [-0.1, 0.9]])
>>> evalues, evectors = linalg.eig(a)

4 2 線性代數linalg模組

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