首先列出題目要求的式子 an
s=∑i
=1n∑
j=1n
d(ij
) an
s=∑i
=1n∑
j=1n
∑a|i
∑b|j
ajb[
(a,b
)=1]
你問我為啥？我也不知道 an
s=∑i
=1n∑
j=1n
∑a|i
∑b|j
ajb∑
d|(a
,b)μ
(d)=
∑d=1
nμ(d
)∑d|
an∑d
|bn∑
a|in
∑b|j
najb
=∑d=
1nμ(
d)∑d
|an∑
d|bn
∑a|i
n∑b|
jnaj
b=∑d
=1nμ
(d)∑
d|ad
n∑d|
bdn∑
ad|i
n∑bd
|jna
jb=∑
d=1n
μ(d)
∑a=1
⌊nd⌋
∑b=1
⌊nd⌋
∑i=1
⌊nad
⌋∑j=
1⌊nb
d⌋aj
bdb=
∑d=1
nμ(d
)∑a=
1⌊nd
⌋∑b=
1⌊nd
⌋∑i=
1⌊na
d⌋∑j
=1⌊n
bd⌋a
jd=∑
d=1n
dμ(d
)∑a=
1⌊nd
⌋a⌊⌊
nd⌋a
⌋∑b=
1⌊nd
⌋∑j=
1⌊nb
d⌋j
最後面那兩個
∑ 可以考慮用算貢獻的方法化簡 ∑b
=1⌊n
d⌋∑j
=1⌊⌊
nd⌋b
⌋j=∑
j=1⌊
nd⌋j
⌊⌊nd
⌋j⌋
令d(n
) 表示約數和函式d(
) 的前
n 項和。 d(
n)=∑
i=1n
i⌊ni
⌋ans
=∑d=
1nμ(
d)d(
⌊nd⌋
)2 d
μ(d)
可以杜教篩，
d 則可以小資料線性篩+大資料暴力。
時間複雜度o(
n23)
//杜教篩
#include
#include
#include
#define maxn 1000005
#define mod 1000000007ll
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n, f[maxn+10], d[maxn+10];
int prime[maxn/10+10], mu[maxn+10], pr[maxn+10], prd[maxn+10];
bool mark[maxn+10];
void shai()
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
prd[i*prime[j]]=prime[j];}}
for(i=1;i1]+(ll)i*mu[i])%mod, d[i]=(d[i-1]+d[i])%mod;
}ll s1(ll x)
ll getf(ll n)
}ll s
qr(ll x)
ll getd(ll n)
return ans;
}int main()
printf("%lld",(ans+mod)%mod);
return
0;}
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