最大公約數的計算

在數學中，輾轉相除法，又稱歐幾里得演算法（英語：euclidean algorithm），是求最大公約數的演算法。輾轉相除法首次出現於歐幾里得的《幾何原本》（第vii卷，命題i和ii）中，而在中國則可以追溯至東漢出現的《九章算術》。

輾轉相除法基於如下原理：兩個整數的最大公約數等於其中較小的數和兩數的差的最大公約數。

演算法的計算過程如下：

設k表示步驟數（從0開始計數）

每一步的輸入是都是前兩次計算的非負餘數rk1和rk2。因為每一步計算出的餘數都在不斷減小，所以，rk-1小於rk-2。在第k步中，演算法計算出滿足以下等式的商qk和餘數 rk：

rk2 = qk*rk1 + rk

其中0 ≤ rk < rk-1。也就是rk-2要不斷減去rk-1直到比rk-1小。

為求簡明，以下只說明如何求兩個非負整數a和b的最大公約數（負數的情況是簡單的）。在第一步計算時（k = 0），設r2和r1分別等於a和b，第2步（此時k = 1）時計算r−1（即b）和r0（第一步計算產生的餘數）相除產生的商和餘數，以此類推。

如果有a < b，演算法的第一步實際上會把兩個數字交換，因為這時a除以b所得的商q0會等於0，餘數r0則等於a。然後，演算法的第二步便是把b除以a，再計算所得之商和餘數。所以，對於k ≥ 0總有rk具體實現**如下：

//輾轉相除法
int c_commondivisor::div_alg(m_num1, m_num2)
return tmp2;
}

輾轉相減法（求最大公約數），即尼考曼徹斯法，其特色是做一系列減法，從而求得最大公約數。

不過，對於我來說感覺就是輾轉相除法的「減法」版。

具體實現如下:

//相減法
int c_commondivisor::phase_sub()
}return tmp2;
}

窮舉法即將所有的可能的結果從兩數之中小的那個數開始，依次減1，然後帶入進行驗證是否滿足被兩數相除餘數為0，若是找到符合的第乙個數字，則即為最大公約數，可以說是最沒有效率也是最暴力的辦法。

具體實現如下：

//窮舉法
int c_commondivisor::exhaustion()
}	return i;
}

所有具體的**如下：

編譯執行環境為visual studio 2017

//
//檔名 : commondivisor.cpp
//建立者 : el.gou
//建立日期 : 2017.03.21
//開發環境 : visual studio 2017
//#include using namespace std;
class c_commondivisor ;
c_commondivisor::c_commondivisor()
//獲得輸入函式
int c_commondivisor::input()
return 0;
}//輸出結果函式
int c_commondivisor::output(int i)
else if (i == 3)
else
cout << "的最大公約數為：" << m_result << "\n\n\n\n\n\n" << endl;
return 0;
}//選單函式
int c_commondivisor::mainmenu()
else if (tmp == 2)
else if (tmp == 3)
else if (tmp == 0)
else
//依據計算輸出相應的計算方式及結果
output(tmp);
}	return 0;
}//輾轉相除法
int c_commondivisor::div_alg()
return tmp2;
}//相減法
int c_commondivisor::phase_sub()
}	return tmp2;
}//窮舉法
int c_commondivisor::exhaustion()
}	return i;
}int main(int argc,char** argv)

與以上演算法相比，在進行非常大的數字的最大公約數計算時，stein演算法是更有效率的演算法，具體演算法概念及流程可以參考：

參考資料：wikipedia

最大公約數的計算

最大公約數

最大公約數

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