求最大公約數

暴力列舉法很簡單,從較小整數的一班開始,試圖找到乙個合適的整數i,檢查這個整數i是否被a和b同時整除;

/**
* 暴力列舉法求最大公約數
** @param a
* @param b
* @return
*/public static int getgreatestcommondivisor_v1(int a, int b) 
for (int i = smaller / 2; i > 1; i--) 
}return 1;
}

注意:這個方法簡單暴力的實現了功能,但是效率不行,想想,如果傳入的整數是100001和10000,使用上述方法需要迴圈10000/2-1=4999次!效率太低,我們看看更高效點的方法——輾轉相除法。

輾轉相除法，又稱歐幾里得演算法，該演算法的目的是求出兩個正整數的最大公約數。

演算法定理：兩個正整數a和b(a>b),他們的最大公約數等於a除以b的餘數c和b之間的最大公約數.

例如10和25,25除以10商2餘5,那麼10和25的最大公約數等同與10和5的最大公約數,以此類推,逐漸把兩個較大的整數之間的運算簡化成兩個較小整數之間的運算,直到兩個資料可以整除,或著其中乙個整數小到1為止.根據定理描述,我們可以使用遞迴的方法把問題逐步簡化.

/**
* 輾轉相除法求最大公約數
** @param a
* @param b
* @return
*/public static int getgreatestcommondivisor_v2(int a, int b) 
return getgreatestcommondivisor_v2(bigger % smaller, smaller);
}

注意:當兩個整數較大時,做a%b取模運算的效能會比較差,我們試試看能不能不取模,試試《九章算術》——更相減損術

原理：兩個正整數a和b(a>b),他們的最大公約數等於a-b的差值c和較小數b的最大公約數

由此,我們同樣使用遞迴的方式來簡化問題.首先,計算出a和b的差值c(假設a>b),把問題轉化成求c和b的最大公約數;然後計算出c和b的差值d(假設c>b),把問題轉化成求d和b的最大公約數,就這樣一致轉化下去.......逐漸把兩個較大的整數之間的運算簡化成兩個較小整數之間的運算,直到兩個數可以相等為止,最大公約數就是最終相等的這兩個數的值.

/**
* 使用更相減損術求最大公約數
* @param a
* @param b
* @return
*/public static int getgreatestcommondivisor_v3(int a, int b) 
int bigger = a > b ? a : b;
int smaller = a < b ? a : b;
return getgreatestcommondivisor_v3(bigger-smaller,smaller) ;
}

注意:更相減損術根據兩數之差的方式遞迴,運算次數肯定遠大於輾轉相除法.更相減損術是不穩定的演算法,當兩數相差懸殊時,如計算100000和1的最大公約數,就要遞迴99999次!什麼方法可以避免取模運算又能儘量減少運算次數呢,我們可以試試下面這個方法.

優點:把輾轉相除法和更相減損術的優勢相結合,在更相減損術的基礎上使用位移運算.

當a和b均為偶數時,getgreatestcommondivisor_v4(a,b)=2*getgreatestcommondivisor_v4(a/2,b/2)=2*getgreatestcommondivisor_v4(a>>1,b>>1);

當a為偶數,b為奇數時,getgreatestcommondivisor_v4(a,b)=getgreatestcommondivisor_v4(a/2,b)=getgreatestcommondivisor_v4(a>>1,b);

當a為奇數,b為偶數時,getgreatestcommondivisor_v4(a,b)=getgreatestcommondivisor_v4(a,b/2)=getgreatestcommondivisor_v4(a,b>>1);

當a,b均為奇數時,先利用更相減損術運算一次,getgreatestcommondivisor_v4(a,b)=getgreatestcommondivisor_v4(b,a-b),此時a-b必然是偶數,然後有可以繼續位移運算了.

/**
* 更相減損術與位移相結合
* @param a
* @param b
* @return
*/public static int getgreatestcommondivisor_v4(int a, int b) 
if((a&1)==0 && (b&1)==0)else if((a&1)==0 && (b&1)!=0)else if((a&1)!=0 && (b&1)==0)else 
}

1.暴力列舉法:時間複雜度為o(min(a,b));

2.輾轉相除法:時間複雜度不好計算,可以近似為o(log(max(a,b))),但是取模運算效能較差;

3.更相減損術:避免了取模運算,但是演算法效能不穩定,最壞時間複雜度為o(max(a,b));

4.更相減損術與位移相結合:不但避免了取模運算,而且演算法效能穩定,時間複雜度為o(log(max(a,b)));

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