在許多物理問題中，我們會遇到積分方程；他們的形式如下 f(
x)=a
+∫x0
k(x,
y)f(
y)dy
(1) 其中a
=f(0
),k 已經給定，我們假設
k 是連續的。例如f
(x)=
aex就是微分方程df
/dx=
f(x)
的解，而微分方程與 f(
x)=a
+∫x0
f(y)
dy是一樣的。
我們可以用arzela-ascoli定理來分析方程1，然而目前我們只考慮滿足某些特殊假設的情況，這樣的話下面的定理就是可用的。定理
10 t
:ℓb(
a,rm
)→ℓb
(a,r
m)是乙個給定的對映，且滿足存在乙個常數λ,
0≤λ<
1 使得對所有的f,
g∈ℓb
(a,r
m) ∥
t(f)
−t(g
)∥≤λ
∥f−g
∥ 那麼t
有乙個唯一的不動點(fixed point)；即存在唯一的乙個點f0
∈ℓb(
a,rm
)使得t(
f0)=
f0。注意：這個證明對任何完備度量空間都是有效的，所有
t 的條件可以看成d(
t(x)
,t(y
))≤λ
d(x,
y)。這樣的對映
t 稱為壓縮(contraction)；縮放因子為
λ<1。
f∈ℓb
開始然後形成序列 f,
t(f)
,t2(
f)=t
(t(f
)),t
3(f)
=t(t
(t(f
))),
… 接下裡我們說明這個序列是柯西序列，這樣的話它就收收斂到ℓb
中並且極限函式就是要求的解。這個方法在構造上非常有用，我們可以逐次計算逼近序列的元素，另外如果我們從解出發，或者在迭代過程中幸運地遇到解的話，這個序列就停止了。定理
10的應
用 如果
supx∈[
0,r]
∫x0|
k(x,
y)|d
y=λ<
1 ，那麼方程1在[0
,r] 上有唯一的解。
實際上，將t(
f)定義成 t(
f)(x
)=a+
∫x0k
(x,y
)f(y
)dy
那麼方程1的解就是
t 的不動點，反之亦然。為了應用定理10，我們必須確認
t是乙個壓縮：∥t
(f)−
t(g)
∥≤λ∥
f−g∥
，此時a=
[0,r
],m=
1 。接下來 ∥t
(f)−
t(g)
∥=supx∈[
0,r]
|t(f
)(x)
−t(g
)(x)
|=supx∈[
0,r]
∣∣∣∫
x0k(
x,y)
[f(y
)−g(
y)]d
y∣∣∣
≤(supx∈[
0,r]
∫x0|
k(x,
y)|d
y)∥f
−g∥=
λ|f−
g|其中|f
(y)−
g(y)
|≤∥f
−g∥ 是乙個常數，因此
t 是乙個壓縮，故有唯一的乙個不動點，也就是要求的解。
隨後我們會給出該方法更多的應用，目前我們需要認識到這個方法在微分與積分方程理論中非常重要。例1
：給出乙個完備度量空間
x 與對映t:
x→x，該對映滿足d(
t(x)
,t(y
))≤d
(x,y
) 但是沒有唯一不動點的例項。解：
令x=r
，且滿足通常的距離d(
x,y)
=|x−
y|。令t(
x)=x
+1，顯然，沒有乙個
x 滿足x=
x+1，但是|t
(x)−
t(y)
|=|x
−y| 。
這個例子說明定理10中的
λ<
1 是必不可少的，λ=
1 不滿足要求。例2
： 說明將逐次近似方法應用到f(
x)=1
+∫x0
f(y)
dy上將產生通常的形式ex
。解： 我們首先從0開始，因為t(
g)=1
+∫x0
g(y)
dy，所以可得： t(
0)t2
(0)=
t(t(
0))t
(t2(
0))t
(t3(
0))⋮
tn(0
)=1;
=1+∫
x0dy
=1+x
;=1+
∫x0(
1+y)
dy=1
+x+x
22;=
1+∫x
0(1+
y+y2
2)=1
+x+x
22+x
33!;
=1+x
+⋯+x
n−1(
n−1)
! 所以這個序列收斂到ex
。例3：
令k(x
,y)=
xe−x
y ，在哪個區間[0
,r] 上，文中的方法可以保證方程1有解？解：
估計λ 並核對
λ<
1 。 λ=
supx∈[
0,r]
∫x0x
e−xy
dy=supx∈
[0,r
](1−
e−x2
)=1−
e−r2
那麼我們在任意區間[0
,r] 上可得到唯一解。
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