集合
a 的內部是
a的最大開子集，同樣地，我們也能構造乙個包含
a 的最小閉集，這個集合就成為
a的閉包(closure)並用cl(
a)或a
¯ 表示。定義
5 令a⊂
rn，集合cl(
a)定義成所有包含
a 的閉集之交(所以根據定理3
(ii)
可得cl(a
) 也是閉的)。例如r
1 中，cl(
(0,1
])=[
0,1]
，另外注意
a 是閉集當且僅當cl(
a)=a
，定理5
令a⊂r
n ，那麼cl(
a)由a
加上所有
a的聚點組成。
換句話說，，為了求出集合
a 的閉包，我們需要
a加上所有不在
a 中的聚點，根據前面給出的例項，定理5在直觀上比較明顯。例1
：找出r 中a=
[0,1
)∪的閉包。解：
該集合的聚點是[0,1]，所以閉包是[0
,1]∪
，這很明顯是包含
a 的最小閉集。例2
：對於任意a⊂
rn，說明rn
∖cl(a
) 是開集。解：
cl(a
) 是閉集，那麼它的補是開集。例3
： cl(
a∩b)
=cl(a
)∩cl(
b)成立嗎？解：
答案為否。例如令a=
[0,1
],b=
(1,2
] ，那麼a∩
b=∅ 並且cl(
a)∩cl
(b)=
。
漫步數學分析八 集合邊界
如果我們考慮r2 中的單位圓，那麼其邊界顯然就是圓。但是對於更加複雜的情況，例如有理數，它的邊界是什麼在直觀上就不明顯，因此我們需要精確的定義。定義 6 對於r2 中的集合 a 邊界定義為集合 bd a cl a cl rn a 有時候用符號 a bd a 所以根據定理 3 ii bd a 是閉集。...
漫步數學分析十一 緊集
在給出rn 中緊集的精確定義前，我們需要介紹一些術語。對於集合a rn，當且僅當存在乙個常數m 0 使得a d 0,m 那麼就稱該集合是有界的 bounded 所以乙個集合被鄰域原點的某個鄰域d 0,m 包住時，它就是有界的 換句話說，對於所有的x a,x m 集合 a 的乙個覆蓋 cover 就是...
漫步數學分析十八 緊集上連續函式的有界性
現在我們證明連續實值函式的乙個重要性質，即有界定理。有界定理表明連續函式在緊集上是有界的並且在集合上的某些點取得最大值與最小值，準確的描述放到定理5中。為了理解上面的結論，我們考慮非緊集上函式會發生什麼情況。首先，連續函式不一定是有界的，圖 給出的是開區間 0 1 上的函式f x 1 x，隨著 x ...