我們都知道二分查詢演算法，實際上二分查詢以及其擴充套件應用是很廣泛的。這裡收集了一些和二分查詢有關的有趣問題。強烈建議大家看完問題後最小化瀏覽器，先嘗試自己去解決，然後再看**，問題都不是太難。
給乙個已經排序的陣列，其中有n個互不相同的元素。要求使用最小的比較次數找出其中的乙個元素。(你認為二分查詢在排序陣列裡找乙個元素是最優的演算法的嗎？)
不需要太多的理論，這是乙個典型的二分查詢演算法。先看下面的**：
01// 返回要查詢元素的下標，-1為沒有找到
02intbinarysearch(inta,intl,intr,intkey)
03
17
18return-1;
19}
理論上，我們最多需要 logn+1 次比較。仔細觀察，我們在每次迭代中使用兩次比較，除了最後比較成功的一次。實際應用上，比較也是代價高昂的操作，往往不是簡單的資料型別的比較。減少比較的次數也是優化的方向之一。
下面是乙個比較次數更少的實現：
01// 迴圈不變式： a[l] <= key & a[r] > key
02// 邊界: |r - l| = 1
03// 輸入: a[l .... r-1]
04intbinarysearch(inta,intl,intr,intkey)
05
16if( a[l] == key )
17returnl;
18else
19return-1;
20}
在while迴圈中，我們僅依賴於一次比較。搜尋空間( l->r )不斷縮小，我們需要乙個比較跟蹤搜尋狀態。
需要注意的，要保證我們恒等式（a[l] <= key & a[r] > key）正確，後面還會用到迴圈不變式。
給乙個有n個互不相同的元素的已排序陣列，返回小於或等於給定key的最大元素。 例如輸入為 a = key = 7,應該返回6.
分析：我們可以用上面的優化方案，還是保持乙個恒等式，然後移動 左右兩個指標。最終 left指標會指向 小於或等於給定key的最大元素(根據恒等式a[l] <= key and a[r] > key)。
- > 如果陣列中所有元素都小於key，左邊的指標left 會一直移動到最後乙個元素。
- > 如果陣列中所有元素都大於key，這是乙個錯誤條件，無答案。
- > 如果陣列中的所有元素都 <= key，這是最壞的情況根據下面的實現
**：01// 迴圈不變式: a[l] <= key and a[r] > key
02// 邊界條件: |r - l| = 1
03// 輸入: a[l .... r-1]
04// 先決條件: a[l] <= key <= a[r]
05intfloor(inta,intl,intr,intkey)
06
16returna[l];
17}
18
19// 初始呼叫
20intfloor(inta,intsize,intkey)
21
這個函式在c++的stl裡面有實現 : lower_bound 函式
給乙個有重複元素的已排序陣列，找出給定的元素key出現的次數，時間複雜度要求為logn.
分析其實可以對上面的程式稍作修改，思路就是分別找出key 第一次出現的位置和最後一次出現的位置。
01// 輸入: 陣列區間 [l ... r)
02// 迴圈不變式: a[l] <= key and a[r] > key
03intgetrightposition(inta,intl,intr,intkey)
04
14returnl;
15}
16
17// 輸入: 陣列區間 (l ... r]
18// 恒等式: a[r] >= key and a[l] > key
19intgetleftposition(inta,intl,intr,intkey)
20
30returnr;
31}
32
33intcountoccurances(inta,intsize,intkey)
34
有乙個已排序的陣列（無相同元素）在未知的位置進行了旋轉操作，找出在新陣列中的最小元素所在的位置。
例如：原陣列 ， 旋轉後的陣列可能是 ，也可能是
分析：我們不斷的縮小 l 左指標和 r 右指標直到有乙個元素。把上面劃橫線的作為第一部分，剩下的為第二部分。如果中間位置m落在第一部分，即a[m] < a[r] 不成立，我們排序掉區間 a[m+1 ... r]。 如果中間位置m落在第二部分，即 a[m]01intbinarysearchindexofminimumrotatedarray(inta,intl,intr)
02
25return-1;
26}
27
28intbinarysearchindexofminimumrotatedarray(inta,intsize)
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