@(微積分)
反常積分總共就分兩類：
針對第二類，有如下的計算技巧。∫b
af(x
)dx
設在(a,b]上，在a處是暇點。
limx→a
+f(x
)(x−
a)δ存
在,δ∈
(0,1
) 則積分收斂。
設在[a,b)上，b處是暇點。
limx→b
−f(x
)(x−
b)δ存
在,δ∈
(0,1
) 則積分收斂。
我們說在(0
,+∞)
上看積分的收斂性是考慮被積函式要更快趨近於0，而在(0,1)區間上，是說f(x)更慢趨近於0，本質都是讓函式的曲線更快靠近參考線。只不過乙個水平，乙個垂直。因此當函式更快靠近水平線時，將更慢靠近垂直，反之亦然。
上面是自己剛剛想明白的。
具體為什麼，待思考證明。
20161222 update:
回頭更新這部分的理論支撐：原來根子還是在這些大師的定理中，柯西，阿貝爾，狄利克雷。。。
上面用到的就是在有限區間內瑕積分柯西審斂法。
在(a,b]區間上，x = a是瑕點，則計算
lim(x−
a)pf
(x) 是否存在。具體分為
0<
p<
1 時極限存在，則收斂。p=
1 時，即
lim(x−
a)f(
x)極限大於0或者無窮大，都可以說明積分發散。
而對於無窮區間的積分，用的是
limxpf
(x) .當
p>
1 時，極限存在則積分收斂。p=
1 時，
limxf(
x)極限大於0或者為無窮大，則積分發散。
具體的理論證明這裡不展開，只是更新下這個是什麼。以及如何用。
關於無窮積分的收斂準則，多說一句，有些積分可以拆分為兩個函式之積，其中乙個單調有界，另乙個積分收斂，則總體收斂。
比如判斷乙個積分：i=
∫+∞0
1(1+
xa)l
n(1+
xb)d
x ,其中a>0,b>0若該積分收斂，則必有：a>1,b<1.
分析：這種問題如果不掌握上面的理論，則很難下手。如同2023年的反常積分，如果不知道如何用柯西審斂法來做，也很難解決。
這裡，可以看到拆分為兩個函式之積，同時區間可以拆分。因為在(0
,1)上
和(1,
+∞) 是不一樣的。 i=
∫+∞0
1(1+
xa)l
n(1+
xb)d
x=∫1
01(1
+xa)
ln(1
+xb)
dx+∫
+∞11
(1+x
a)ln
(1+x
b)dx
在(0,1)上，11
+xa 是單調減且有界的函式，那麼根據阿貝爾判別法，只用使得∫1
01ln
(1+x
b)dx
收斂即可。可見在x=0處是瑕積分，那麼就可以用柯西審斂定理，構造:
limx→0
+(x−
0)pl
n(1+
xb)=
xpxb
,p∈(
0,1)
所以b <1時極限存在。
同理在(1,
+∞) 上，ln
(1+x
b)是單調遞減且有界的，只用關注∫+
∞11(
1+xa
) ，由p積分可知，a>1時積分收斂。
第20章 反常積分 基本概念
20.2 關於無窮區間的積分 20.3 比較判別法 20.4 極限比較判別法 20.5 p判別法 20.6 絕對收斂判別法 主要內容 考慮積分 b af x dx ab f x dx 當函式f f 在區間 a,b role presentation style position relative a...
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