20.2 關於無窮區間的積分
20.3 比較判別法
20.4 極限比較判別法
20.5 p判別法
20.6 絕對收斂判別法
主要內容:
考慮積分 ∫b
af(x
)dx ∫ab
f(x)
dx
當函式f f
在區間[a,
b]' role="presentation" style="position: relative;">[a,
b][a
,b]內有一條垂直漸近線：函式在漸近線附近變得很大，且沒有界限。上述積分就變成的反常積分。
即使函式是有界的，也會出現一種不同型別的無界。即閉區間[a
,b] [a,
b]
變成乙個無界區間，如：[−
∞,3]
[ −∞
,3].
綜上：如果出現以下情況，積分∫b
af(x
)dx ∫ab
f(x)
dx
就是反常積分：
（1）函式
f f
在閉區間內是無界的；
（2）閉區間本身是無界的；
如果函式f(x)' role="presentation" style="position: relative;">f(x
)f(x
)接近於x=
c x=c
時是無界的，就稱該函式在x=
c x=c
點有乙個破裂點。
如果僅僅在
x x
接近於a' role="presentation" style="position: relative;">a
a的時候該函式f(
x)f (x
)是無界的，則定義： ∫b
af(x
)dx=
limσ
−>0+
∫ba+
σf(x
)dx ∫ab
f(x)
dx
=limσ−
>0+
∫a+σ
bf(x
)d
x該極限存在或不存在，我們就說該反常積分收斂或發散。
乙個反常積分在有界區間的收斂和發散，僅僅由它的被積函式在非常接近破裂點時的走勢決定。
定義： ∫∞
af(x
)dx=
limn
−>∞∫
naf(
x)dx
∫ a∞
f(x)
dx
=limn−
>∞∫
anf(
x)dx
假設該極限存在，則反常積分收斂，否則發散。
乙個反常積分在無界區間的收斂和發散，僅僅由它的被積函式在自變數接近於無窮大時的走勢決定。
用乙個函式的反常積分的結果，判別另乙個函式的反常積分。
基本思想：假設兩個函式在破裂點附近的表現非常接近（再沒有其它破裂點），那麼，兩個函式在破裂點上區間的反常積分同時收斂或發散。
定義：當x−
>
a x
−>
a時，f(
x)g(
x)f (x
)g(x
)同
limx
−>af
(x)g
(x)=
1 limx−
>af
(x)g
(x)=
1有同樣的意義。即當x−
>
a x
−>
a時，兩個函式漸進等價。
極限比較判別法可以轉化為比較判別法。
p判別法實質上是比較判別法和極限比較判別法的乙個特例：找乙個常見的簡單函式形式1x
p 1xp
,根據p的值，判定
x x
的冪在破裂點區間上反常積分的收斂或發散性。
類似於夾逼定理，函式的絕對值在積分區間收斂，相當於極限的上界和下界收斂。
證明技巧：設g(
x)=|
f(x)
|+f(
x)' role="presentation" style="position: relative;">g(x
)=|f
(x)|
+f(x
)g(x
)=|f
(x)|
+f(x
),可知，但f(
x)<
0 f(x
)<
0時，g(
x)=0
g (x
)=
0，當f(
x)>
0 f(x
)>
0時，g(
x)=2
f(x)
g (x
)=2f
(x
)。因此：0≤
∫bag
(x)d
x≤2∫
ba|f
(x)|
dx0 ≤∫
abg(
x)dx
≤2∫a
b|f(
x)|d
x。由比較判別法，可知，如果f(
x)f (x
)絕對收斂，則g(
x)g (x
)絕對收斂。由於f
(x)=
g(x)
−|f(
x)| f(x
)=g(
x)−|
f(x)
|,有∫b
af(x
)dx=
∫bag
(x)d
x−∫b
a|f(
x)|d
x ∫ab
f(x)
dx=∫
abg(
x)dx
−∫ab
|f(x
)|dx
，當等式右側兩項收斂時，左側也收斂。
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