母函式講解篇

在數學中，某個序列的母函式(generating function，又稱生成函式)是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。

母函式可分為很多種，包括普通母函式

、指數母函式

、l級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的乙個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。

這裡先給出兩句話，不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看：

1.「把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來」

2.「母函式的思想很簡單 — 就是把離散數列和冪級數一 一對應起來，把離散數列間的相互結合關係對應成為冪級數間的運算關係，最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. 「

母函式圖(1)

由此可以看出:

1.x的係數是a1,a2,…an 的單個組合的全體。

2. x^2的係數是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。

………n. x^n的係數是a1,a2,….an的n個組合的全體（只有1個）。

母函式圖(2)

母函式的定義

對於序列a0，a1，a2，…構造一函式：

母函式圖(3)

稱函式g(x)是序列a0，a1，a2，…的母函式。

這裡先給出2個例子，等會再結合題目分析：

第一種：

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚

，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

考慮用母函式來解決這個問題：

我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：

1個1克的砝碼可以用函式1+1*x^1表示，

1個2克的砝碼可以用函式1+1*x^2表示，

1個3克的砝碼可以用函式1+1*x^3表示，

1個4克的砝碼可以用函式1+1*x^4表示，

我們拿1+x^2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量！初始狀態時，這裡就是乙個質量為2的砝碼。

那麼前面的1表示什麼？按照上面的理解，1其實應該寫為：1*x^0,即1代表重量為2的砝碼數量為0個。

所以這裡1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝碼有兩種狀態，不取或取，不取則為1*x^0，取則為1*x^2

不知道大家理解沒，我們這裡結合前面那句話：

「把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來「

接著討論上面的1+x^2，這裡x前面的係數有什麼意義？

這裡的係數表示狀態數(方案數)

1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面說的不取2克砝碼，此時有1種狀態；或者取2克砝碼，此時也有1種狀態。(分析！)

所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？

幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函式的乘積表示：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

從上面的函式知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。（！！！經典！！！）

例如右端有2^x^5 項，即稱出5克的方案有2種：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案數有2種，稱出10克的方案數有1種 。

接著上面，接下來是第二種情況：

第二種：

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：

大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是乙個，而這裡每種是無限的。

母函式圖(4)

以展開後的x^4為例，其係數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案數為4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

這裡再引出兩個概念"整數拆分"和"拆分數"：

所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於乙個球）。

整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。

現在以上面的第二種情況每種種類個數無限為例，給出模板：

[cpp]view plain

copy

#include 

using

namespace

std;  

// author: tanky woo

// www.wutianqi.com

const

int_max = 10001;   

// c1是儲存各項質量砝碼可以組合的數目

// c2是中間量，儲存每一次的情況

intc1[_max], c2[_max];     

intmain()  

for(i=2; i<=nnum; ++i)   

// ----- ②

for(j=0; j<=nnum; ++j)     

// ---- ⑤

}  cout <

}  return

0;  

}  

我們來解釋下上面標誌的各個地方：(***********！！！重點！！！***********)

①  、首先對c1初始化，由第乙個表示式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把質量從0到n的所有砝碼都初始化為1.

②  、 i從2到n遍歷，這裡i就是指第i個表示式，上面給出的第二種母函式關係式裡，每乙個括號括起來的就是乙個表示式。

④ 、 k表示的是第j個指數，所以k每次增i（因為第i個表示式的增量是i）。

⑤  、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0，因為c2每次是從乙個表示式中開始的。

母函式講解

例項講解1 有1g,2g,3g,4g四個重量的砝碼各乙個，問它們能稱出哪些重量來？能稱出的每一種重量有幾種方案？我們用x的指數來表示乙個砝碼能貢獻的重量，x的係數表示貢獻這種重量的方案數，不同的貢獻之間用加號連線 1g砝碼能貢獻 x 0 x 1 1 x 2g砝碼能貢獻 x 0 x 2 1 x 2 3...

生成函式 母函式

根據定義，這個序列作為函式的係數，稱g x 就是序列的母函式。和一般意義上的函式相比，母函式的功能是計數。有這樣一道例題 到這一章為止，已知的計數法則就兩種，加法法則 或 和乘法法則 且 前者是分類思想，後者是分步。法1 分步來看，第乙個骰子有1 5種可能，因為兩個骰子之和是6，所以一旦第乙個骰子確...

生成函式（母函式）

參考部落格 在數學中，某個序列 a n 的母函式 又稱生成函式，英語 generating function 是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。有三種物品，分別有 3 2，3個，問拿四個的方案數 f i j 表示當前第i個位置，已經選了j個物品的方案數 f 0 0 1 fo...