回歸到秩的本質：組成矩陣的線性無關的向量個數。am
xn本身1）0
≤r(a
)≤mi
n
m決定了階梯向下的數目，n決定了向右的數目，較小的值決定了總數目的最大值。2）r(
ka)=
r(a)
倍乘不改變秩的大小3）r(
a)=r
(at)
=r(a
at)=
r(at
a)
這是乙個可以考察的證明。這是乙個很酷的性質。轉置矩陣像是原矩陣的最好的朋友，不改自己的脊梁。因此兩個核心相同的矩陣乘到一起仍是同樣的秩。4）r思路：構造ax
=0;a
tax=
0
若同解，則命題得證。 若α
是ax=0
的任一解，aα
=0,則at
aα=0
也是at
ax=0
的解。 若β
是atax=0
的任一解，at
aβ=0
,左乘乙個βt
,則βt
ataβ
=0→(
aβ)t
aβ=0
→||a
β||2
=0→a
β=0 所以，
β 是ax
=0的解。
(an)
=r(a
n+1)
=r(a
n+2)
...;
a必須是
可逆矩陣
舉個a不是可逆矩陣的例子： a2
=⎡⎣⎢
⎢000
0008
00⎤⎦
⎥⎥→a
3=⎡⎣
⎢⎢00
0000
000⎤
⎦⎥⎥
可見：r(a
2)=1
,r(a
3)=0
5）關於a+b: r(
a+b)
≤r(a
)+r(
b)
6）這是本篇文章的起因；關於a
∗ r
(a∗)
=⎧⎩⎨
⎪⎪n,
1,0,
r(a)
=nr(
a)=n
−1r(
a)1
|a待補充ab形式的秩的不等式。∗|=|
a|n−
1 ,這個很容易證明：aa
∗=|a
|e→|
aa∗|
=|a|
|a∗|
=|a|
n→|a
∗|=|
a|n−
1
當|a| 不等於0時，伴隨矩陣必然可逆。當r
(a)1 ,就意味著任意n-1階子式全為0，由伴隨矩陣的組成成分ai
j=0 ，所以r(
a∗)=
0 當
r(a)
=n−1
時，|a
|=0,
aa∗=
0→r(
a)+r
(a∗)
≤n→r
(a∗)
≤1又因為存在n-1階子式不為0，則a∗
一定不為0，於是r(
a∗)≥
1
綜合得到r(
a∗)=
1
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