直接把作業帖上來是不是有點不太公道呀。。。
無所謂啦反正各位看著開心就行kmp演算法對於模式串pp，建立其字首函式nn ，其中n[q]n[q] 表示在pp中，以qq位置為結束的可以匹配到字首的最長字尾的長度（也可以理解為那個字首的結束位置），在匹配中，若p[i]p[i]與s[j]s[j]失配，則令i=n[i?1]+1i=n[i?1]+1 ，否則現考慮如何構造nn ，設當前以計算出n[1..i?1]n[1..i?1] ，則令k=n[i?1]k=n[i?1] ,若 p[k+1]=p[i]p[k+1]=p[i]，則令n[i]=k+1n[i]=k+1 ，否則令k=n[k]k=n[k] 。重複上述過程，直至找到可證該演算法能在θ(|p|)θ(|p|) 的時間內構造出字首函式nn ,在θ(|s|)θ(|s|) 的時間內完成匹配，總的時間複雜度為kmp演算法的正確性證明先證明匹配過程的正確性：在過程中，若p[1..q]p[1..q] 與s[s+1...s+q]s[s+1...s+q] 匹配，而p[q+1]p[q+1]與s[s+q+1]s[s+q+1] 失配，那麼由nn的定義可立即得出p[1..n[q]]p[1..n[q]] 與 s[s+q?n[q]+1...s+q]s[s+q?n[q]+1...s+q] 匹配，而s[1...t]s[1...t]與s[s+q?t+1...s+q]s[s+q?t+1...s+q] 失配(n[q]接下來證明字首函式nn計算的正確性：令n?[q]=n?[q]= 其中n(t)[q]=n(t?1)[q]，n(0)[q]=n[q]n(t)[q]=n(t?1)[q]，n(0)[q]=n[q] ,那麼n?[q]n?[q] 為以q位置為結束的可以匹配到字首的字尾的所有長度（即匹配到所有字首的位置），同時有n[q]?1∈n?[q?1]n[q]?1∈n?[q?1] ,因此只需從大到小列舉n?[q?1]n?[q?1] 中的元素並通過判斷即可得出n[q]n[q] 。
kmp演算法的時間複雜度證明在匹配時：i，ji，j增長了|s||s| ，而在i=n[i?1]+1i=n[i?1]+1 中，ii 至少減少1，即該語句至多執行了|s||s|次，因此時間複雜度為θ(|s|)θ(|s|)。
構造字首函式nn 時： 我們考慮k的變化，我們可以得到，在每次k=n[k]k=n[k] 中，kk 至少減少1，又因為kk隨ii增加了|p||p|次，即該語句至多執行|p||p| 次，因此時間複雜度為θ(|p|)θ(|p|) 。
因此總的時間複雜度為θ(|s|+www.csy5294.cn|p|)θ(|s|+|p|) 。
kmp演算法的優化我們希望通過優化，為了減少失配的概率，因此提出如下改進：在構造n′n′陣列時，當p[k+1]=p[i]p[k+1]=p[i] 時，若p[i+1]=p[k+2]p[i+1]=p[k+2] 則n′[i]=k+1n′[i]=k+1 否則n′[i]=n′[k+1]n′[i]=n′[k+1] 。
該優化的正確性證明在匹配時，我們發現，若p[q+1]p[q+1] 與s[s+q+1]s[s+q+1]失配，同時p[q+1]=p[n(t)[q]+1]p[q+1]=p[n(t)[q]+1] ，則p[n(t)[q]+1]p[n(t)[q]+1]一定與s[s+q+1]swww.ludipt77.cn [s+q+1] 失配，因此若p[n[q]+1]=p[q+1]p[n[q]+1]=p[q+1] ,則該比較一定失配，無需考慮。
在該優化中，由該函式的遞迴求法可得，n′[q]=maxn′[q]=max ，因此n′[q]n′[q] 依舊能列舉完所有可能匹配的字首，同時減少失配概率。
該優化對演算法空間與時間複雜度的影響由於該優化只是改變了n陣列的構造方法，因此對空間複雜度無影響。
時間複雜度的證明同kmp的證明，可得對最壞情況下的時間複雜度無影響由於該演算法避免了出現p[n[q]+1]=p[q+1]p[n[q]+1]=p[q+1]的情況，因此對於有較多重複子串的模式串有較好的優化效果（如www.yinb666.cnaaaab,abcabcabcd）
kmp優化正確性證明
鄧俊輝老師的課上給出了一種普遍的kmp演算法優化，但是沒有給出這種優化的正確性證明。或許這種正確性是顯而易見的，但這裡還是研究了一下這個演算法的正確性問題。int buildnext char p else 原演算法 j next j 優化演算法 j newnext j return next 顯然...
Dijkstra演算法正確性證明
問題 求圖中點1到其他各點的最短距離 演算法描述 設初始時圖的所有點的集合u 把起點s放入初始集合set中 u u set set 找s經過集合set中的點，能達到的距離最短的點k k in u 將k併入set 言外之意k的前乙個點必然屬於set u u set set 由於每次引入的只有乙個點k，...
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問題 求圖中點1到其他各點的最短距離 策略 1.把起點1放入初始集合set中，從剩餘的點中，選取到set 此時set中只有1個點 距離最近的點，併入集合set中，2.從剩餘的點中，找經過集合set，到起點1的最短距離，將最短邊併入set集合 3.依次迴圈，直到所有的邊都併入set 變數的命名 set...