某一地區的人群生長環境相似，我們隨機選20個男性，量出他們的身高，近似地服從正態分佈。
正態分佈，即高斯分布，是自然界最常見的資料分布了。
用均值、標準差來確定乙個正態分佈概率密度圖。比如n(-2,0.5)，就是均值為-2，標準差為0.5的正態分佈。而n(0,1)稱為標準正態分佈。
這裡給出r應用
//假設當在居民的身高正態分佈均值為170cm，標準差為10，身高低於160的概率為
pnorm(160,170,10)
//身高在170~180之間的概率為
pnorm(180,170,10)
-pnorm(170,170,10)
比如，我們根據樣本均值，估算出總體均值。
我們從總體中100取出多個樣本，每個樣本10條資料，取每個樣本的均值，得到100個樣本均值。當樣本均值夠多時，就會發現這些樣本均值服務正態分佈。取這個樣本均值的正態分佈的均值，理論上最接近總體均值了。這就是大數定理，即，中心極限定理。
上面提到的樣本均值，算是一種樣本統計量。
就是說，當我們在乙個資料集中抽出多個樣本時，這些樣本的樣本統計量會服從固定的抽樣分布。
這樣，我們只要看抽樣分布與假定的總體分布差距大小，就知道總體分布的情況了。
常見的三大抽樣分布：卡方分布、t分布、f分布，都是基於正態分佈匯出的，用來檢驗正態總體。
還是上面的人群身高的例子。假如那個地區的人們說自己當地男性的平均身高是170cm，但我們觀察到的情況是低於170的人比較多，於是我們假設居民平均身高低於170cm，並來檢驗一下這個假設。
我們測量20男性的身高當作樣本。已知總體身高服從正態分佈，總體均值為170cm，我們只要用t分布來檢驗樣本均值和總體均值差距是否大，就可以知道當在居民是否說謊了。
//樣本資料
h<-c(1.69,1.68,1.70,1.71,1.67,1.69,1.68,1.70,1.70,1.68,1.65,1.73,1.66,1.70,1.68,1.69,1.69,1.68,1.69,1.68);
//做t檢驗。假設居民平均身高低於170cm，並來檢驗一下這個假設
t.test(h,m=1.70,alternative = "less")
從t檢驗結果可以看出：data: hone sample t-testt = -3.2065, df = 19, p-value = 0.002323
alternative hypothesis: true mean is less than 1.7
95 percent confidence interval:
-inf 1.694241
sample estimates:
mean of x
1.6875
樣本均值為1.6875。
在t分布圖上，t值-3.2065對應的概率p值為0.002323。使用0.005的顯著性水平的話，由於p值小於顯著性水平，表明假設錯誤的概率很低。可以說，平均身高應該是低於170cm的，且估計錯誤的概率低於0.005。
上面的例子我們使用了單尾檢驗模式中的less，即假設總體均值小於170cm。還有兩種模式：greater、two-side，分別表示樣本均值大於總體均值，不等於總體均值。
這裡看下r**
//假設居民平均身高高於170cm，並來檢驗一下這個假設
t.test(h,m=1.70,alternative = "greater")
one sample t-test可以得出結果，由於t = -3.2065對應的p值沒有小於顯著水平0.005，假設不成立。data: h
t = -3.2065, df = 19, p-value = 0.9977
alternative hypothesis: true mean is greater than 1.7
95 percent confidence interval:
1.680759 inf
sample estimates:
mean of x
1.6875
上面例子是樣本與總體預估均值的對比檢驗，接下看下兩個樣本之間的對比檢驗。
還是拿身高的例子來說，這裡我們要研究飲用水源對身高的影響，選了相同地區兩村子的居民做樣本來研究。乙個村子喝地下水，乙個村子喝河水，分別測量20名男性身高，做對比。因為有人聲稱喝河水的民民普遍長的高，我們就來檢驗一下假設。
//喝地下水的居民身高
h1<-c(1.69,1.68,1.70,1.71,1.67,1.69,1.68,1.70,1.70,1.68,1.65,1.73,1.66,1.70,1.68,1.69,1.69,1.68,1.69,1.68);
//喝河水的居民身高
h2<-c(1.69,1.69,1.70,1.71,1.67,1.68,1.68,1.70,1.70,1.68,1.64,1.73,1.66,1.71,1.68,1.69,1.69,1.68,1.67,1.69);
//假設喝河水的居民比喝地下水的居民高
t.test(h1,h2,alternative = "less")
welch two sample t-test從檢驗結果來看，t = 0.085501在t分布圖上對應的概率p為0.5338，沒有低於顯著水平0.05，假設不成立。data: h1 and h2
t = 0.085501, df = 37.536, p-value = 0.5338
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
95 percent confidence interval:
-inf 0.01036226
sample estimates:
mean of x mean of y
1.6875 1.6870
上面的幾個例子可以使用t檢驗我們的各種假設，是因為我們確定身高資料服從正態分佈，否則所有的檢驗就無效了。
實際應用過程中，可以這樣檢驗資料是否服從正態分佈：
shapiro.test(h)shapiro-wilk normality test從輸出結果來看，由於p值大於顯著性水平0.05，所以可以判定資料集h服從正態分佈。data: h
w = 0.94791, p-value = 0.3365
所有檢驗都不是100%正確。比如下面這段r**：
shapiro.test(1:30)//輸出為：0.2662
shapiro.test(1:50)//輸出為：0.05809
p<0.05是拒絕是零假設，承認備選假設；p>0.05是無法拒絕零假設。重點在於選擇的零假設和備選假設是什麼。
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