1）使用matlab畫出正態分佈的概率密度函式影象。
x=[-10:0.01:10];
y=normpdf(x,0,1);%正態分佈函式。
figure;
axes1=axes('pos',[0.1 0.1 0.85 0.85]);
plot(x,y);
set(axes1,'ylim',[-0.01 0.43],'xlim',[-3 3]);
圖1：
2）驗證概率密度函式在區間(-∞,∞)上的積分為1。
這裡取引數mu=3，sigma=5（注：下文全用這兩個引數）。
y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
s=int(y,-inf,inf) %int積分函式（inf代表無窮大）。
輸出：s=1
3）驗證x=mu時取最大值。
思路：求解函式一階導數為零的點。
* 求一階導數
y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
d=diff(y);%微分函式。
sd=simplify(d)
輸出結果：sd = -1/250*(x-3)*exp(-1/50*(x-3)^2)*2^(1/2)/pi^(1/2)
* 通過影象判斷解的位置
x=[0:0.001:40];
sd=-1/250.*(x-3).*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2)./pi.^(1/2);
axes1=axes('pos',[0.1 0.1 0.85 0.85]);
plot(x,sd);
set(axes1,'ylim',[-0.01 0.01],'xlim',[0 40]);
圖2：
從圖中可以看出在3附近有解。
* 定義函式並求解
function y=f(x)
y=-1/250.*(x-3).*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2)./pi.^(1/2);
r=fzero('f',3)
輸出：r=3
從圖上看在x > 20以後，幾乎是一條直線，若用20：
r=fzero('f',20)
輸出：r=3
這說明是無限趨近於0。
* 進一步說明該點為最大值點
該概率密度函式一階導數為0的解為3，此值正好為mu，再取x=1，x=4與x=3時的函式
值比較。
>> normpdf(1,3,5)
ans = 0.0737
>> normpdf(4,3,5)
ans = 0.0782
>> normpdf(3,3,5)
ans = 0.0798
顯然在x=3的兩邊函式值都比x=3小，說明該點為極大值點。根據正態分佈函式的圖
像特點可知該點是最大值點。
4）驗證x=mu +- sigma （即8或-2）處曲線有拐點。
思路：求二階導數為零的點。
* 先求二階微分
y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
d=diff(y,2);%微分函式。
sd=simplify(d)
輸出：sd = 1/6250*exp(-1/50*(x-3)^2)*2^(1/2)*(-16+x^2-6*x)/pi^(1/2)
* 通過影象判斷解的位置
x=[-20:0.001:20];
sd=1./6250.*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2).*(-16+x.^2-6.*x)/pi.^(1/2);
axes1=axes('pos',[0.1 0.1 0.85 0.85]);
plot(x,sd);
set(axes1,'ylim',[-0.005 0.005],'xlim',[-20 20]);
圖3：
從上圖可以看出，曲線在(-5,0)和(5,10)之間分別都與y=0有交點，因此有兩個解。
* 定義函式並求解
function y=f(x)
y=1./6250.*exp(-1/50.*(x-3).^2).*2.^(1/2).*(-16+x.^2-6.*x)/pi.^(1/2);
r=fzero('f',-5)
r = -2
>> r=fzero('f',5)
r = 8.0000
從而得到了兩個拐點x=8和x=-2，也即mu +- sigma。
5）驗證曲線以x軸為漸近線漸近線求解：
a 垂直漸近線 x=a是y=f(x)的漸近線<==>lim f(x)=∞或lim f(x)=∞
x->a+0 x->a-0
其中a在間斷點中找——∞型第二類間斷點b 水平漸近線
x→+∞（-∞）時，y=b是y=f(x)的漸近線<==>lim f(x)=b （或lim f(x)=b)
x->+∞ x->-∞
求其一階倒數在x趨向於無窮大時的極限值b，若存在，即有水平漸近線y=b。
* 先定義函式：
function y=f(x)
syms x; %定義符號變數。
y=exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5);
* 求x趨向無窮大時一階導數的極限
limit(f,inf)
ans = 0
6）驗證 3 sigma 法則
思路：求解概率密度函式在[mu-3*sigma,mu+3*sigma]區間上的積分。
y='exp(-1/2*((x-3)/5)^2)/(sqrt(2*pi)*5)';
double(int(y,-12,18))
ans = 0.9973
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