子串行的定義：給定乙個序列x=，另乙個序列z=，滿足如下條件時稱為x的子串行，
即存在乙個嚴格遞增的x的下標序列和所有的j=1,2,...,k，滿足zj=x[ik]下標序列，使得它們都相等。
如是x=的子串行。
給定兩個序列x和y,如果z既是x的子串行，也是y的子串行，我們稱它是x和y的公共子串行。
lcs問題：給定兩個序列，求x和y長度最長的公共子串行。
分析：lcs具有最優子結構性質，兩個序列的lcs包含兩個序列的字首的lcs。
定義c[0,...,m][0,....,n]，m是x序列的長度，y序列的長度是n。c[i][j]的含義是序列x[0,...,i-1]和序列y[0,...,j-1]的lcs。
如果x[i-1]==y[j-1]，則c[i][j]=c[i-1][j-1]+1；如果x[i-1]!=y[j-1]，則序列x[0,...,i-1]和序列y[0,...,j-1]的lcs有兩種可能，
一種是序列x[0,...,i-2]和序列y[0,...,j-1]的lcs，另一種是序列x[0,...,i-1]和序列y[0,...,j-2]的lcs，兩者取較大值。
即c[i][j]=max(c[i][j-1],c[i-1][j])。
下面是實現的過程：
// lcs.cpp : 定義控制台應用程式的入口點。它的時間複雜度是: o(m*n) 空間複雜度:o(m*n)//最長公共子串行問題：給定兩個序列x=
和y=,求x和y的最長公共子串行。
#include "stdafx.h"
#include
#include
#include
#include
using namespace std; //c[i][j]表示x的前i個字元和y的前j個字元所共有的序列長度；b[i][j]用來回溯得到的公共子串行 void lcs_length(string x,string y,vector
> & b,vector
> & c) else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]) else } //利用回溯和表b,追蹤lcs void print_lcs(vector
> & b, string x,int xlen, int ylen,string &s) else if(b[i][j]==1)//上面有c[i][j]=c[i-1][j];此時回溯c[i-1][j] print_lcs(b,x,i-1,j,s); else print_lcs(b,x,i,j-1,s); } int _tmain(int argc, _tchar* argv) lcs_length(x,y,b,c); print_lcs(b,x,m,n,s); cout<
進一步優化：
動態規劃解決lcs，一般要定義乙個表c[0,...,m][0,...,n]，所用的空間複雜的是o(m*n)，其實這裡表c的資訊是冗餘的。要想獲得c[i][j]其實，只需根據c[i-1][j-1]，c[i][j-1]，c[i-1][j]中的資訊獲得即可。我們可以用o(m)或者o(n)的空間
就可以獲得最長公共子串行的長度。我們這裡定義乙個陣列a[m+1]，儲存如圖中綠色部分的資訊，a[0]=c[i-1][j-1]，
當進行到比較x[i]與y[j]時，我們要得到c[i,j]的值，它需要用到c[i-1][j-1],c[i][j-1]，c[i-1][j]，即a[0]，a[i]，a[i-1]。同時，它是新的a[i],如第二張圖的紅色部分所示。同時，原來a[0]裡儲存的資料用過後，再下一次迴圈就用不上了，a[0]也需要更新。然後，這次迴圈結束後，就形成了乙個新的a陣列。我們可以看到，它是從上到下，一列列的生成c[i][j]中的元素的。注意，當生成了一列結束，即j>=m時，開始新的外一層迴圈，此時，設定a[0]=0.
下面的**在原有的基礎增加了乙個函式lcs(....)，用o(m+1)的空間獲得lcs長度，這裡沒有恢復重構lcs中的元素。
// lcs.cpp : 定義控制台應用程式的入口點。//最長公共子串行問題：給定兩個序列x=
和y=,求x和y的最長公共子串行。
#include "stdafx.h"
#include
#include
#include
#include
using namespace std; //這裡對演算法進行了優化,空間複雜度o(m+1) void lcs(string x, string y, vector
& a) } } //c[i][j]表示x的前i個字元和y的前j個字元所共有的序列長度；b[i][j]用來回溯得到的公共子串行 void lcs_length(string x,string y,vector
> & b,vector
> & c) else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]) else } //利用回溯和表b,追蹤lcs void print_lcs(vector
> & b, string x,int xlen, int ylen,string &s) else if(b[i][j]==1)//上面有c[i][j]=c[i-1][j];此時回溯c[i-1][j] print_lcs(b,x,i-1,j,s); else print_lcs(b,x,i,j-1,s); } int _tmain(int argc, _tchar* argv) lcs_length(x,y,b,c); print_lcs(b,x,m,n,s); cout<
<
a(m+1); lcs(x,y ,a); cout<
<
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