1. 極點和極線
定義（極點pole和極線polar）：點x與二次曲線c共同決定一條直線l = cx叫做x對c的極線，點x叫做極線l對c的極點。
定理（極點與極線的關係, pole-polar relationship）：點x對c的極線l與c相交於兩點，通過這兩點的c的兩條切線相交於點x.
如果點x位於c上，則它的極線就是c在點x上的切線。
如果點x位於c內部，會怎麼樣？
定義（相關，correlation）：由極點和極線的定義可知，二次曲線引入了在空間p2 上從點x到直線l之間的乙個對映，這個對映關係可以用1個3x3非奇異矩陣a來表示，即l = ax. 這叫做相關，它代表在空間
p2
上從乙個點到一條直線的乙個可逆的對映。
對映矩陣a不一定是對稱的，但是二次曲線c一定是對稱的。並且由於c的對稱性，使得這一對映具有共軛的特點。
定義（共軛點, conjugate points）：如果極點x對二次曲線c的極線為l = cx，且點y位於極線l上，則有 yt
l=yt
cx= 0。任意兩個滿足條件yt
cx= 0
的點x和y稱為對c共軛。
定理（共軛定理）：如果點x位於點y的極線上，那麼y也位於x的極線上。
由二次曲線c的對稱性，很容易得到上述結論。
由對偶定理，可以得到具有共軛關係的兩條直線。
定義（共軛直線，conjugate lines）：兩條直線l和m共軛，如果 lt
c*m= 0.
2. 固定點和固定線
前面已經講到，無窮線在投影變換下是固定的，而虛圓點在相似性變換下是固定的。本節進一步討論這個問題。
對3x3變換矩陣 h 進行特徵值分解，得到
he = λe
其中 e是
特徵向量，
λ是特徵值。如果把特徵向量 e 看做 p2
空間中的乙個齊次點，則顯然 e 和λe
代表同乙個點。這說明點 e 在變換 h 中是個固定點。
3x3
矩陣 h 最多有3個特徵值，則相應的有3個固定點。
對於直線的變換l'= h-t
l, 把它寫成
l= ht
l', 則可以看到，ht
的特徵向量對應於3條固定線。
歐式矩陣：進行特徵值分解，得到
可見，歐式矩陣的兩個特徵值代表旋轉角度，它們對應的特徵向量就是兩個虛圓點i和j. 可見虛圓點在歐式變換下是固定的。
第三個特徵向量 (a,b,c)t
，叫做極點 (pole) ，對應於特徵值1。
相似矩陣：進行特徵值分解，得到
可見，虛圓點在相似變換下仍然是固定的。特徵值代表了旋轉角度和縮放比例。
仿射矩陣：對仿射矩陣的轉置矩陣 ha
t 進行特徵值分解，得到
可見，無窮線l
∞= (0, 0, 1)
t在仿射變換下是固定的。
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