動態規劃--最長上公升子串行
lis（longest increasing subsequence）最長上公升（不下降）子串行，有兩種演算法複雜度為o(n*logn)和o(n^2)。在上述演算法中，若使用樸素的順序查詢在d1..dlen查詢，由於共有o(n)個元素需要計算，每次計算時的複雜度是o(n)，則整個演算法的時間複雜度為o(n^2)，與原來演算法相比沒有任何進步。但是由於d的特點(2)，在d中查詢時，可以使用二分查詢高效地完成，則整個演算法時間複雜度下降為o(nlogn)，有了非常顯著的提高。需要注意的是，d在演算法結束後記錄的並不是乙個符合題意的最長上公升子串行！演算法還可以擴充套件到整個最長子序列系列問題。
有兩種演算法複雜度為o(n*logn)和o(n^2)
o(n^2)演算法分析如下
（a[1]...a[n] 存的都是輸入的數）
1、對於a[n]來說，由於它是最後乙個數，所以當從a[n]開始查詢時，只存在長度為1的不下降子串行；
2、若從a[n-1]開始查詢，則存在下面的兩種可能性：
（1）若a[n-1] < a[n] 則存在長度為2的不下降子串行 a[n-1],a[n].
（2）若a[n-1] > a[n] 則存在長度為1的不下降子串行 a[n-1]或者a[n]。
3、一般若從a[t]開始，此時最長不下降子串行應該是按下列方法求出的：
在a[t+1],a[t+2],...a[n]中，找出乙個比a[t]大的且最長的不下降子串行，作為它的後繼。
4、為演算法上的需要，定義乙個陣列：
d:array [1..n,1..3] of integer;
d[t,1]表示a[t]
d[t,2]表示從i位置到達n的最長不下降子串行的長度
d[t,3]表示從i位置開始最長不下降子串行的下乙個位置
最長不下降子串行的o(n*logn)演算法
先回顧經典的o(n^2)的動態規劃演算法，設a[t]表示序列中的第t個數，f[t]表示從1到t這一段中以t結尾的最長上公升子串行的長度，初始時設f[t] = 0(t = 1, 2, ..., len(a))。則有動態規劃方程：f[t] = max (j = 1, 2, ..., t - 1, 且a[j] < a[t])。
現在，我們仔細考慮計算f[t]時的情況。假設有兩個元素a[x]和a[y]，滿足
(1)x < y < t (2)a[x] < a[y] < a[t] (3)f[x] = f[y]
此時，選擇f[x]和選擇f[y]都可以得到同樣的f[t]值，那麼，在最長上公升子串行的這個位置中，應該選擇a[x]還是應該選擇a[y]呢？
很明顯，選擇a[x]比選擇a[y]要好。因為由於條件(2)，在a[x+1] ... a[t-1]這一段中，如果存在a[z]，a[x] < a[z] < a[y]，則與選擇a[y]相比，將會得到更長的上公升子串行。
再根據條件(3)，我們會得到乙個啟示：根據f的值進行分類。對於f的每乙個取值k，我們只需要保留滿足f[t] = k的所有a[t]中的最小值。設d[k]記錄這個值，即d[k] = min (f[t] = k)。
注意到d的兩個特點：
(1) d[k]的值是在整個計算過程中是單調不上公升的。
(2) d的值是有序的，即d[1] < d[2] < d[3] < ... < d[n]。
利用d，我們可以得到另外一種計算最長上公升子串行長度的方法。設當前已經求出的最長上公升子串行長度為len。先判斷a[t]與d[len]。若a[t] > d[len]，則將a[t]接在d[len]後將得到乙個更長的上公升子串行，len = len + 1， d[len] = a[t]；否則，在d[1]..d[len]中，找到最大的j，滿足d[j] < a[t]。令k = j + 1，則有d[j] < a[t] <= d[k]，將a[t]接在d[j]後將得到乙個更長的上公升子串行，同時更新d[k] = a[t]。最後，len即為所要求的最長上公升子串行的長度。
在上述演算法中，若使用樸素的順序查詢在d[1]..d[len]查詢，由於共有o(n)個元素需要計算，每次計算時的複雜度是o(n)，則整個演算法的時間複雜度為o(n^2)，與原來的演算法相比沒有任何進步。但是由於d的特點(2)，我們在d中查詢時，可以使用二分查詢高效地完成，則整個演算法的時間複雜度下降為o(nlogn)，有了非常顯著的提高。需要注意的是，d在演算法結束後記錄的並不是乙個符合題意的最長上公升子串行！
這個演算法還可以擴充套件到整個最長子序列系列問題，整個演算法的難點在於二分查詢的設計，需要非常小心注意。
介紹二：
最長上公升子串行lis演算法實現 最長上公升子串行問題是各類資訊學競賽中的常見題型，也常常用來做介紹動態規劃演算法的引例，筆者接下來將會對poj上出現過的這類題目做乙個總結，並介紹解決lis問題的兩個常用演算法(n^2)和(nlogn).
問題描述:給出乙個序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7....an,求它的乙個子串行（設為s1,s2,...sn），使得這個子串行滿足這樣的性質，s1
例如有乙個序列:1 7 3 5 9 4 8,它的最長上公升子串行就是 1 3 4 8 長度為4.
演算法1(n^2):我們依次遍歷整個序列，每一次求出從第乙個數到當前這個數的最長上公升子串行，直至遍歷到最後乙個數字為止，然後再取dp陣列裡最大的那個即為整個序列的最長上公升子串行。我們用dp[i]來存放序列1-i的最長上公升子串行的長度，那麼dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]); 顯然dp[1]=1,我們從i=2開始遍歷後面的元素即可。
下面是模板：
[cpp]view plain
copy
?//最長上公升子串行(n^2)模板
//入口引數：1.陣列名稱 2.陣列長度（注意從1號位置開始）
template
<
class
t>
intlis(t a,
intn)
dp[i]=m+1;
if(dp[i]>ans)
ans=dp[i];
} return
ans;
}
演算法2(nlogn):維護乙個一維陣列c，並且這個陣列是動態擴充套件的，初始大小為1，c[i]表示最長上公升子串行長度是i的所有子串中末尾最小的那個數，根據這個數字，我們可以比較知道，只要當前考察的這個數比c[i]大，那麼當前這個數一定能通過c[i]構成乙個長度為i+1的上公升子串行。當然我們希望在c陣列中找乙個盡量靠後的數字，這樣我們得到的上公升子串的長度最長，查詢的時候使用二分搜尋，這樣時間複雜度便下降了。
模板如下：
[cpp]view plain
copy
?//最長上公升子串行nlogn模板
//入口引數:陣列名+陣列長度，型別不限，結構體型別可以通過過載運算子實現
//陣列下標從1號開始。
/**/
/begin_template_by_abilitytao_acm
template
<
class
t>
intbsearch(t c,
intn,t a)
} template
<
class
t>
intlis(t a,
intn)
return
size;
}
最長上公升子串行
問題描述 乙個數的序列bi，當b1 b2 bs的時候，我們稱這個序列是上公升的。對於給定的乙個序列 a1,a2,an 我們可以得到一些上公升的子串行 ai1,ai2,aik 這裡1 i1 i2 ik n。比如，對於序列 1,7,3,5,9,4,8 有它的一些上公升子串行，如 1,7 3,4,8 等等...
最長上公升子串行
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最長上公升子串行
最長上公升子串行問題 給出乙個由n個數組成的序列x 1.n 找出它的最長單調上公升子串行。即求最大的m和a1,a2 am，使得a1動態規劃求解思路分析 o n 2 經典的o n 2 的動態規劃演算法，設a i 表示序列中的第i個數，f i 表示從1到i這一段中以i結尾的最長上公升子串行的長度，初始時...