曾以為中國剩餘定理不在我所能理解的範圍之內，起碼，不在我能證明的範圍之內——因為描述它的這堆符號的緣故。如果你也覺得這個定理的描述用到了許多高階的符號，請閱讀本文。
聽說別的學校的同學已經能用中國剩餘定理a題了。放在以前，我可以想，畢竟，他們比我高乙個年級。今天，我正想這樣想，發現自己已經是高二選手啦！恰逢今天下午去數學競賽那裡蹭了半節課，雖然老師講得有些無聊，提前一小時回家了，但我覺得今天是個適合搞數學的日子。計畫中該寫作業來著……
解線性方程組，其中m1
,m2,
…,mn
兩兩互質。 x≡
a1(modm1
)x≡a
2(modm2)
⋯x≡a
n(modmn)
設x=12a+34
b ，則x≡
12a(mod34)
，x≡34
b(mod12
) 。這個事實啟發我們把解寫成和的形式 x=
k1a1
+k2a
2+⋯+
knan
係數ki
就好比開關，幫助我們在必要的時候遮蔽掉某些項。
為了在模m1
的時候得到a1
，k2,
k3,…
,kn 必須含m1
這個因子；為了在模m2
的時候得到a1
，k1,
k3,…
,kn 必須含m2
這個因子。把所有這些要求綜合起來，我們有 mm
i|ki
m=m1
m2⋯m
n 現在，x≡k
iai(
modmi)
。於是，對ki
，我們提出乙個新的要求：ki
≡1(modmi
) 。由於ki
已經是mm
i 的倍數了，所以，令ki
=mmi
(mmi
)−1,
mmi(
mai)
−1≡1
(modmi
) 即可達成目標。
m兩兩互質，保證了這個逆元的存在性。
好啦，構造成功。形式化地寫下來： m=
∏i=1
nmim
i=mm
imim
−1i≡
1(modmi)
x=∑i
=1nm
im−1
iai
顯然，x+k
m 都是這個方程組的解。讓我們來推導這個事實，表明該形式的必要性。設x
1 ，x2
是方程組的兩個解，代入每個方程，得x1
≡x2(
modmi)
，即(x
2−x1
) 是mi
的整數倍，進而有(x
2−x1
) 是所有m的公倍數的整數倍。不妨設x2
>x1
，則該整數倍最小為1。令公倍數為最小公倍數，由於m兩兩互質，它們的最小公倍數等於m。這樣，我們最小化了(x
2−x1
) ，它等於m。所以，原方程組的通解為 x≡
∑i=1
nmim
−1ia
i(modm)
先寫到這裡。做到有關的題再補充定理的應用。
中國剩餘定理 擴充套件中國剩餘定理
中國剩餘定理 對於求解一元不定方程組 的一種演算法叫做中國剩餘定理。又名孫子定理。其中m1,m2,m3.mk 為兩兩互質的整數，求x的最小非負整數解 令m mi 1 i n m是所有mi的最小公倍數 ti為同餘方程 ti m mi 1 mod mi 的最小非負整數解 則有乙個解 x ai m mi ...
中國剩餘定理
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中國剩餘定理
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