標籤（空格分隔）： 微積分
i 1°. 每一對數a與b之間必有且僅有下列關係之一
a=b，a>b，a< b；
i 2°. 由a>b及b>c推得a>c（>的傳遞性）
i 3°. 若a>b,則必能求得一數c，使
a>c，且c>b （稠密性，數c位於a，b之間；顯然有無限多個這樣的數字）
小於（<）的概念作為派生而引出。
ii 1°. a+b=b+a （加法的交換性）
ii 2°. (a+b)+c = a+(b+c) （假髮的結合性）
ii 3°. a+0=a； 零這個數比較特殊，這是它具有的性質。
ii 4°. 對每一數a存在著（與它對稱的數）-a，使a+(-a)=0。
基於以上性質，解決加法的逆運算——減法的問題。通常稱使c+b=a的數c為數a及b的差。
**？？關於差的單值性我實在看不懂了…
整個p3都看不懂**
ii 5°. 由a>b推得a+c>b+c。
iii 1°. ab=ba；（乘法的交換性）
iii 2°. (ab)c=a(bc)；（乘法的結合性）
iii 3°. a·1=a；「1」這個數字比較特殊，這是他具有的性質。
iii 4°. 對於每乙個異於0的數，必有數1a
（其倒數），使a⋅
1a=1
.除法是乘法的逆運算。如果一數c滿足關係c·b=a，其中b常預先假定異於0，則c稱為a及b的商。
？？關於商的單值性與差的單值性類似，我實在看不懂了… 整個p4都看不懂
iii 5°. (a+b)c=ac+bc；（乘法關於和的分配性）
iii 6°. 由a>b及c>0推得a·c>b·c。
關於有理數稠密性的討論：由a>b推得
a>a+
b2>
b 。
iv 1°. 不論c>o是怎樣的數，總有大於c的自然數n存在著(阿基公尺德公理) .
實際上，阿基公尺德曾說明乙個幾何的命題，即為眾所周知的阿基公尺德公理：若在直線上給定任意兩線段a及b，則a重複相加若干次後，其和總可以大於b。
效仿戴德金（r. dedekind）來敘述無理數的理論。有理數域內的分化的概念是這理論的基礎。
若將有理數全體所成的幾何分拆為兩個非空集合a， a』。我們把這樣的分拆叫做分劃，只要滿足條件
1°. 任一有理數，比在且僅在a及a』二集之一中出現；
2°. 集a內的任一數a，比小於集a』內的任一數a』。
集a稱為分劃的下組，集a』為上組。分劃記成a|a』。
在分析教程中引人實數的另一種辦法是把所有的(無論是有理的，還是無理的)實數的最簡單
性質看作公理、而不加證明地予以承認傾向於這種辦法的讀者在閱讀本節時，可一下子跳到10
和11目。哈工大教材就是這麼做的。
例1 一切滿足不等式
a<
1 的有理數a，定為集a，一切滿足a≥
1 的a』，都算入集a』。
例2 取小於或等於1的一切有理數
a ，a≤
1， 歸入下組a；取大於1的一切有理數a』，a′
>
1 ，歸入上組a』。
例3 取使a2
<
2 的一切正有理數a，數0及一切負有理數歸入a組，使a′
2?2 的一切正有理數a』歸入a』組。
這樣，分劃僅能有三種型別，如剛才例1，2，3所表明的:
1) 在下組a內無最大數，而在上組a』內有最小數r；
2) 在下組a內有最大數r，而在上組a』內無最小數；
3) 在下組內既無最大數，在上組內亦無最小數.
在前兩種情形，我們說，分劃由有理數r所產生(r成為a與a』之間的界數)，或說分劃定義有理數r. 在例1，2 中，1便是這樣的數。在第三種情形界數並不存在，分劃並不定義任何有理數。今引人新的物件————無理數。 讓我們約定，任一3)型的分劃定義某一無理數
α 。這個數
α 便代替缺少的界數，我們好像把它插入在a組的一切數a與a』組的一切數a』中間.在例3中，這新創的數，很易推想而知，即是2√
。我們並不引人無理數的任何同一式樣的記法，我們總是把無理數a理解為有理數域中確定它的分劃a|a』。
為了一致起見，同樣來理解有理數r也常是很方便的。但對於任一有理數r存在著確定它的兩種分劃：在兩種情形中數
a<
r 總是屬於下組，數a′
>
r 總是屬於上組，而數r本身可以任意包含在下組(這時r為下組的最大數)，或包含在上組(r為上組的最小數) 。為了確定起見，我們約定：凡說到確定有理數r的分劃時，常把這數放在上組內。
有理數及無理數總稱為實數，實數的概念，為數學分析的基本概念之一。
在考察有理數域的分劃時，我們己看到，有時有這樣的分劃存在，使在有理數域內並無產生此分劃的界數。正是由於有理數域有這種不完備性，即在它們中間存在著這些空隙，所以我們才要引人新數——無理數。現在開始考察實數域的分劃。在這種分劃之下我們把這數域分拆成兩個均非空集a及a』，使能滿足:
1° 每一實數必落在集a，a』中乙個且僅乙個之內；
2° 集a的每一數
α 小於集a』的每一數α′
。現在發生了問題：對於這樣的分劃a|a』，是否永遠能找到——在實數域內——乙個產生這分劃的界數，或在這數域內還存在著空隙(這種空隙可作為再引人新數的理由)？
天宇附註：關於無理數的定義，已經把無理數的空隙全都填上了。你怎麼可能再找到空隙。實數域的分劃為粗體，有理數域的分劃為普通體。
要指出?事實上並沒有這種空隙：
基本定理（戴德金）對於實數域內的任一分劃a|a』必有產生這分劃的實數應存在。 這數
β ，1)或是下組a內的最大數， 2)或是上組a』內的最小數。
本書編者關於本條定理有如下註解如果不加證明地承認實數的基本性質，而不從有理數的性質引入這些基本性質、那麼本定理同樣應看作是公理，把它稱為戴德金公理或完備性公理。哈工大版的工科數學分析就是這麼做的。
實數域的這一性質常稱為它的完備性，也稱為它的連續性(或密接性)。
若對所考察的集
，有這樣的數m存在，使一切x≤
m ，就說，這集(被數m)上有界；這m 就是集
的上界。
仿此，若能求出數m，使一切x≥
m ，就說，集
(被數m) 下有界，且數m 稱為集
的下界。
若數集上有界，即有有限的上界m，則同時可知這種上界必有無數個之多(例如，任何》m 的數，顯然亦是上界)。在一切上界內，最小的上界特別有用，它稱為上確界。仿此，若數集下有界，則二切下界中的最大者，便稱為下確界。
定理若集 x=
上(下)有界，則它必有上(下)確界。
這個定理在哈工大版工科數學分析被用作全書最基本的公理。
數集 x 的上確界是m*及下確界是m* 常用下列符號來記:
m* = sup
x = sup
， m* = inf
x = inf
(依拉丁文supremum= 最高的， infìmum= 最低的)。
請注意乙個明顯的、以後常會遇到的推論:
* 若某數集的一切數x滿足不等式x≤
m ， 則必sup x≤
m .
實際上:數m顯然是數集的上界之一，因此，一切上界中的最小者總不能超過它。
仿此，由不等式x≥
m ，推得infx≥
m 。
最後我們約定，若數集x=
不上有界，便說，它的上確界是+∞
: sup x=
+∞。仿此，若數集x=
不下有界，則說， 它的下確界是−∞
： infx=−∞。
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