>從八數碼問題入手
我們首先從經典的八數碼問題入手，即對於八數碼問題的任意乙個排列是否有解？有解的條件是什麼？
我在網上搜了半天，找到乙個十分簡潔的結論。八數碼問題原始狀態如下：
1 2 3
4 5 6
7 8
為了方便討論，我們把它寫成一維的形式，並以0代替空格位置。那麼表示如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 0
通過實驗得知，以下狀態是無解的（交換了前兩個數字1 2）：
2 1 3 4 5 6 7 8 0
八數碼問題的有解無解的結論：
乙個狀態表示成一維的形式，求出除0之外所有數字的逆序數之和，也就是每個數字前面比它大的數字的個數的和，稱為這個狀態的逆序。
若兩個狀態的逆序奇偶性相同，則可相互到達，否則不可相互到達。
由於原始狀態的逆序為0（偶數），則逆序為偶數的狀態有解。
也就是說，逆序的奇偶將所有的狀態分為了兩個等價類，同乙個等價類中的狀態都可相互到達。
簡要說明一下：當左右移動空格時，逆序不變。當上下移動空格時，相當於將乙個數字向前（或向後）移動兩格，跳過的這兩個數字要麼都比它大（小），逆序可能±2；要麼乙個較大乙個較小，逆序不變。所以可得結論：只要是相互可達的兩個狀態，它們的逆序奇偶性相同。我想半天只能說明這個結論的必要性，詳細的證明請參考後面的附件。
>推廣二維n×n的棋盤 (poj 2893)
我們先來看看4×4的情況，同樣的思路，我們考慮移動空格時逆序的變化情況。 1
2 3 4
5 6
7 89
a b cd
e f
我們用字母a~f代替數字10~15。同樣地，當左右移動的時候，狀態的逆序不改變。而當上下移動的時候，相當於乙個數字跨過了另外三個格仔，它的逆序可能±3或±1，逆序的奇偶性必然改變。那麼又該如何 1
2 3 4
5 6
7 89
a b
c d
e f
可以證明，以上狀態是乙個無解的狀態（將c移到了第四行）。該狀態的逆序為0，和原始狀態相同，但是它的空格位置在第三行。若將空格移到第四行，必然使得它的逆序±1或±3，奇偶性必然改變。所以它是乙個無解的狀態。
然而以下狀態就是乙個有解的狀態（交換了前兩個數字1 2）： 2
1 3
45 6 7 89
a b
c d
e f
這個狀態的逆序為1，和原始狀態奇偶性不同，而空格位置在第三行。由於空格每從第三行移動到第四行，奇偶性改變。則該狀態的可到達原始狀態。
通過觀察，得出以下結論：
n×n的棋盤，n為奇數時，與八數碼問題相同。
n為偶數時，空格每上下移動一次，奇偶性改變。稱空格位置所在的行到目標空格所在的行步數為空格的距離（不計左右距離），若兩個狀態的可相互到達，則有，兩個狀態的逆序奇偶性相同且空格距離為偶數，或者，逆序奇偶性不同且空格距離為奇數數。否則不能。
也就是說，當此表示式成立時，兩個狀態可相互到達：（狀態1的逆序數 +
空格距離)的
奇偶性==狀態2奇偶性。
另外再詳細說明一下，無論n是奇數還是偶數，空格上下移動，相當於跨過n-1個格仔。那麼逆序的改變可能為一下值±n-1，±n-3，±n-5 …… ±n-2k-1。當n為奇數數時n-1為偶數，逆序改變可能為0；當n為偶數時n-1為奇數，逆序的改變不能為0，只能是奇數，所以沒上下移動一次奇偶性必然改變。
>推廣到三維n×n×n ( zju 2004 )
其實，三維的結論和二維的結論是一樣的。
考慮左右移動空格，逆序不變；同一層上下移動空格，跨過n-1個格仔；上下層移動空格，跨過n^2-1個格仔。
當n為奇數時，n-1和n^2-1均為偶數，也就是任意移動空格逆序奇偶性不變。那麼逆序奇偶性相同的兩個狀態可相互到達。
當n為偶數時，n-1和n^2-1均為奇數，也就是令空格位置到目標狀態空格位置的y z方向的距離之和，稱為空格距離。若空格距離為偶數，兩個逆序奇偶性相同的狀態可相互到達；若空格距離為奇數，兩個逆序奇偶性不同的狀態可相互到達。
八數碼問題有解的條件及其推廣
從八數碼問題入手 我們首先從經典的八數碼問題入手，即對於八數碼問題的任意乙個排列是否有解？有解的條件是什麼？我在網上搜了半天，找到乙個十分簡潔的結論。八數碼問題原始狀態如下 1 2 3 4 5 6 7 8為了方便討論，我們把它寫成一維的形式，並以0代替空格位置。那麼表示如下 1 2 3 4 5 6 ...
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簡單的八數碼問題（BFS）
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