演算法之LCA與RMQ問題

1、概述

lca（least common ancestors），即最近公共祖先，是指這樣乙個問題：在有根樹中，找出某兩個結點u和v最近的公共祖先（另一種說法，離樹根最遠的公共祖先）。 rmq（range minimum/maximum query），即區間最值查詢，是指這樣乙個問題：對於長度為n的數列a，回答若干詢問rmq（a,i,j）(i,j<=n)，返回數列a中下標在i，j之間的最小/大值。這兩個問題是在實際應用中經常遇到的問題，本文介紹了當前解決這兩種問題的比較高效的演算法。

2、 rmq演算法

對於該問題，最容易想到的解決方案是遍歷，複雜度是o(n)。但當資料量非常大且查詢很頻繁時，該演算法也許會存在問題。

首先是預處理，用動態規劃（dp）解決。設a[i]是要求區間最值的數列，f[i, j]表示從第i個數起連續2^j個數中的最大值。例如數列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，f[1，0]表示第1個數起，長度為2^0=1的最大值，其實就是3這個數。 f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……從這裡可以看出f[i,0]其實就等於a[i]。這樣，dp的狀態、初值都已經有了，剩下的就是狀態轉移方程。我們把f[i，j]平均分成兩段（因為f[i，j]一定是偶數個數字），從i到i+2^(j-1)-1為一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1為一段(長度都為2^（j-1）)。用上例說明，當i=1，j=3時就是3,2,4,5 和 6,8,1,2這兩段。f[i，j]就是這兩段的最大值中的最大值。於是我們得到了動態規劃方程f[i, j]=max（f[i，j-1], f[i + 2^(j-1)，j-1]）。

然後是查詢。取k=[log2(j-i+1)]，則有：rmq(a, i, j)=min。舉例說明，要求區間[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]兩個區間，因為這兩個區間的最大值我們可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

演算法偽**：

//初始化
init_rmq
//max[i][j]中存的是重j開始的2^i個資料中的最大值，最小值類似，num中存有陣列的值
for i : 1 to n
max[0][i] = num[i]
for i : 1 to log(n)/log(2)
for j : 1 to (n+1-2^i)
max[i][j] = max(max[i-1][j], max[i-1][j+2^(i-1)]
//查詢
rmq(i, j)
k = log(j-i+1) / log(2)
return max(max[k][i], max[k][j-2^k+1])

當然，該問題也可以用線段樹（也叫區間樹）解決，演算法複雜度為：o(n)~o(logn)，具體可閱讀這篇文章：《資料結構之線段樹》。

3、 lca演算法

對於該問題，最容易想到的演算法是分別從節點u和v回溯到根節點，獲取u和v到根節點的路徑p1，p2，其中p1和p2可以看成兩條單鏈表，這就轉換成常見的一道面試題：【判斷兩個單鏈表是否相交，如果相交，給出相交的第乙個點。】。該演算法總的複雜度是o（n）（其中n是樹節點個數）。

（1）dfs：從樹t的根開始，進行深度優先遍歷（將樹t看成乙個無向圖），並記錄下每次到達的頂點。第乙個的結點是root(t)，每經過一條邊都記錄它的端點。由於每條邊恰好經過2次，因此一共記錄了2n-1個結點，用e[1, ... , 2n-1]來表示。

（2）計算r：用r[i]表示e陣列中第乙個值為i的元素下標，即如果r[u] < r[v]時，dfs訪問的順序是e[r[u], r[u]+1, …, r[v]]。雖然其中包含u的後代，但深度最小的還是u與v的公共祖先。

（3）rmq：當r[u] ≥ r[v]時，lca[t, u, v] = rmq(l, r[v], r[u])；否則lca[t, u, v] = rmq(l, r[u], r[v])，計算rmq。

【舉例說明】

t=，其中v=,e=,且a為樹根。則圖t的dfs結果為：a->b->d->b->e->f->e->g->e->b->a->c->a，要求d和g的最近公共祖先, 則lca[t, d, g] = rmq(l, r[d], r[g])= rmq(l, 3, 8)，l中第4到7個元素的深度分別為：1,2,3,3，則深度最小的是b。

離線演算法（tarjan演算法）描述：

所謂離線演算法，是指首先讀入所有的詢問（求一次lca叫做一次詢問），然後重新組織查詢處理順序以便得到更高效的處理方法。tarjan演算法是乙個常見的用於解決lca問題的離線演算法，它結合了深度優先遍歷和並查集，整個演算法為線性處理時間。

tarjan演算法是基於並查集的，利用並查集優越的時空複雜度，可以實現lca問題的o(n+q)演算法，這裡q表示詢問的次數。更多關於並查集的資料，可閱讀這篇文章：《資料結構之並查集》。

lca(u)
checked[u]=true
對於每個(u,v)屬於p // (u,v)是被詢問的點對}}

【舉例說明】根據實現演算法可以看出，只有當某一棵子樹全部遍歷處理完成後，才將該子樹的根節點標記為黑色（初始化是白色），假設程式按上面的樹形結構進行遍歷，首先從節點1開始，然後遞迴處理根為2的子樹，當子樹2處理完畢後，節點2， 5， 6均為黑色；接著要回溯處理3子樹，首先被染黑的是節點7（因為節點7作為葉子不用深搜，直接處理），接著節點7就會檢視所有詢問(7, x)的節點對，假如存在(7, 5)，因為節點5已經被染黑，所以就可以斷定(7, 5)的最近公共祖先就是find(5).ancestor，即節點1（因為2子樹處理完畢後，子樹2和節點1進行了union，find(5)返回了合併後的樹的根1，此時樹根的ancestor的值就是1）。有人會問如果沒有(7, 5)，而是有(5, 7)詢問對怎麼處理呢? 我們可以在程式初始化的時候做個技巧，將詢問對(a, b)和(b, a)全部儲存，這樣就能保證完整性。

4、總結

lca和rmq問題是兩個非常基本的問題，很多複雜的問題都可以轉化這兩個問題解決，這兩個問題在acm程式設計競賽中遇到的尤其多。這兩個問題的解決方法中用到很多非常基本的資料結構和演算法，包括並查集，深度優先遍歷，動態規劃等。

5、參考資料

（1）判斷兩個鍊錶是否相交

（2）博文《lca問題（含rmq的st演算法）》

（3）博文《range minimum query and lowest common ancestor》

（4）博文《lca問題（最近公共祖先問題）+ rmq問題》

（5）博文《最近公共祖先(lca)的tarjan演算法》

（6）博文《lca 最近公共祖先的tarjan演算法》

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更多關於資料結構和演算法的介紹，請檢視：資料結構與演算法彙總

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dfs, lca, rmq, st, tarjan演算法, 區間最值查詢, 最近公共祖先, 深度優先遍歷, 稀疏表

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