LCA最近公共祖先演算法

在有根數中，兩個節點u和v的公共祖先中距離最近的那個被稱為最近公共祖先（lca，lowerst common ancestor）。用於搞笑計算lca的演算法有許多，在此我們介紹其中的兩種。在下文中，我們都假設節點數為n。

1.基於二分搜尋的演算法

記節點v到根的深度為depth(v)。那麼，如果節點w是u和v的公共祖先的話，讓u向上走depth(u)-depth(w)步，讓v向上走depth(v)-depth(w)步，就都將走到w。因此，首先讓u和v中較深的一方向上走|depth(u)-depth(v)|步，再一起一步一步向上走，知道走到同乙個節點，就可以在o(depth(u)+depth(v))時間內求出

lca。

const
int max_v=100;
vector
g[max_v];//圖的鄰接表
int root;//根節點編號
int parent[max_v];//父親節點（根節點的父親節點記為-1)
int depth[max_v];//節點深度
void dfs(int v,int p,int d)//當前節點v，v的父親節點，v節點所在深度
}void init()
//計算u和v的lca
int lca(int u,int v)
return u;
}

節點的最大深度是o(n)，所以該演算法的時間複雜度也是o(n)。如果只需計算一次lca的話，這便足夠了。但是如果要計算多對節點的lca的話如何是好呢？剛才的演算法，通過不斷向上走到同一節點來計算u和v的lca。這裡，到達同一節點後，無論怎麼向上走，到達的顯然還是同一節點。利用這一點，我們就能夠利用二分搜尋求出到達公共祖先所需要的最少步數嗎？事實上，只要利用如下預處理，就能實現二分搜尋。

首先，對於任意頂點v，利用其父親節點資訊，可以用過parent2[v]=parent[parent[v]]得到其向上走兩步所到的頂點，在利用這一資訊，又可以通過parent4[v]=parent2[parent2[v]]得到向上走4步所到的頂點。以此類推，就能夠得到其向上走2^k步索道的頂點parent[k][v]。有了k=floor(log n)以內的所有資訊後，就可以二分搜尋了，每次的複雜度是o(log n)。另外，預處理parent[k][v]的複雜度是o(nlog n）。

上面的方法也叫調表法。

const int max_v=100;
const int max_log_v=10;
vector
g[max_v];//圖的鄰接表
int root;//根節點編號
intparent[max_log_v][max_v];//向上走2^k步所到的節點(超過根時記為-1)
int depth[max_v];//節點深度
void dfs(int v,int p,int d)//當前節點v，v的父親節點，v節點所在深度
}void init(int v)
}}//計算u和v的lca
int lca(int u,int v)
if(u==v)
return u;
for(int k = max_log_v-1;k>=0;k--)
if(parent[k][u]!=parent[k][v])//利用二分搜尋計算lca,其實就是從上往下找根節點
return
parent[0][u];
}

tarjan離線演算法:具體講解過程見此文，此文**並查集用秩優化，已經遍歷的根節點用ancestor儲存。

下面是乙個朋友寫的具體理解，挺不錯的。

#include 
using
namespace
std;
//fstream input,output;
const
int n=40005;
vector
v[n];
vector
query[n],num[n];
int ans[n],dis[n],father[n];
bool vis[n];
void init(int n)
}int find(int x)
void union(int x,int y)
void tarjan(int o)
for(int i=0;iint tmp = query[o][i];
if(vis[tmp])
printf("the root of %d and %d is %d\n",o,tmp,find(tmp));}}

基於rmq的演算法，將樹轉為從根dfs標號後得到的序列處理的技巧常常十分有效。對於lca，利用該技巧也能夠高效地計算。首先，按照從根dfs訪問的順序得到頂點序列vs[i]和對應的深度depth[i]。對於每個頂點v，記錄其在vs中首次出現的下表為id[v]。

對應的樹：

這些都可以在o(n)時間內求得。而lca(u,v)就是訪問u之後到訪問v之間所經過頂點中離根最近的那個，假設id[u]<=id[v]，那麼有

lca(u,v)=vs[id[u]<=i<=id[v]中令depth（i)最小的i]

而這可以利用rmq高效的求得。

#include 
using
namespace
std;
const
int max_v=1000;
int root;
int d[10000][20],mark[10000][20];//記錄最小值和下標
vector
g[max_v];
int vs[max_v*2-1];//dfs訪問順序
int depth[max_v*2-1];//節點的深度
int id[max_v];//各個頂點在vs中首次出現的下標
void rmq_init(const
vector
& a)//rmq查詢區間最小值的**
for(int j=1;(1
<1
//          d[i][j]=min(d[i][j-1],d[i+(1<
if(d[i][j-1]1
<
else
}}int query(int l,int r)//返回下標
void dfs(int v,int p,int d,int &k)//節點，父節點，深度，遍歷下標
}}void init(int v)//初始化，用來記錄節點深度和第一次遍歷的節點下標等等
int lca(int u,int v)查詢

其中rmq的查詢還可以用線段樹來代替。

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