一、基本概念：
給定一棵有根樹，若節點z既是節點x的祖先，也是節點y的祖先，則稱z是x，y的公共祖先。在x，y的所有公共祖先中，深度最大的乙個稱為x，y的最近公共祖先，記為lca（x，y）。
lca（x，y）是x到根的路徑與y到根的路徑的交匯點。它也是x與y之間的路徑上深度最小的節點。求最近公共祖先的方法通常有五種。
在此介紹三種，另外兩種還沒學。
二、向上標記法：
從x向上走到根節點，並標記所有經過的節點。
從y向上走到根節點，當第一次遇到已標記的節點時，就找到了lca（x，y）。
對於每個詢問，向上標記法的時間複雜度最壞為o（n）。
三、樹上倍增法：
樹上倍增法是乙個很重要的演算法。除了lca之外，它在很多問題中都有廣泛應用。設f（x，k）表示x的2k輩祖先，即從x向根節點走2k步到達的節點。特別的，若該節點不存在，則令f（x，k）=0。f（x，0）就是x的父節點。除此之外，1≤k≤logn ，f（x，k）=f（f（x，k-1），k-1）。
這類似於乙個動態規劃的過程，階段就是節點的深度。因此，我們可以對樹進行廣度優先遍歷，按照層次順序，在節點入隊之前，計算它在f陣列中相應的值。
以上是預處理部分，時間複雜度為o（nlogn），之後可以多次對不同的x，y計算lca，每次詢問的時間複雜度為o（logn）。
基於f陣列計算lca（x，y）分為以下幾步：
（1）----設d（x）表示x的深度。不妨設d（x）≥d（y）。（否則可以交換x，y）。
（2）----用二進位制拆分思想，把x向上調整到於y同一深度。
具體來說，就是依次嘗試從x向上走k=2logn,……21,20步，檢查到達的節點是否比y深。在每次檢查中，若是，則令x=f（x，k）。
（3）----若此時x==y，說明已經找到了lca，lca就是y。
（4）----用二進位制拆分思想，把x，y同時向上調整，並保持深度一致且二者不相匯。
具體來說，就是依次嘗試把x，y同時向上走k=2logn,……21,20步，在每次嘗試中，
若f（x，k）≠f（y，k）（即仍未相會），則令x=f（x，k），y=f（y，k）。
（5）----此時x，y必定只差一步就相會了，他們的父節點f（x，0）就是lca。
以hdoj2586 how far away為例：
時間複雜度為：o（（n+m）logn）。
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using
namespace std;
const
int maxn=
50010
;int f[maxn][20
],d[maxn]
,dis[maxn]
;int ver[maxn*2]
,nt[maxn*2]
,edge[maxn*2]
,head[maxn]
;int t,n,m,tot,t;
queue<
int>q;
void
add(
int x,
int y,
int z)
void
bfs(
void)}
}int
lca(
int x,
int y)
if(x==y)
return x;
for(
int i=t;i>=
0;i--
)return f[x][0
];}int
main
(void
)bfs()
;for
(int i=
1;i<=m;i++)}
return0;
}
tarjan演算法本質上是使用並查集對「向上標記法」的優化。它是乙個離線演算法，需要把m個詢問一次性讀入，統一計算，最後統一輸出。時間複雜度o（n+m）。
在深度優先遍歷的任意時刻，樹中節點分為三類：
（1）----已經訪問完畢並且回溯的節點。在這些節點上標記乙個整數2。
（2）----已經開始遞迴，但尚未回溯的節點。這些節點就是當前正在訪問的節點x以及x的祖先。在這些節點上標記乙個整數1。
（3）----尚未訪問的節點。這些節點沒有標記。
對於正在訪問的節點x，它到根節點的路徑已經標記為1。若y是已經訪問完畢並且回溯的節點，則lca（x，y）就是從y向上走到根，第乙個遇到的標記為1的節點。
可以利用並查集進行優化，當乙個節點獲得整數2的標記時，把它所在的集合合併到它的父節點所在的集合中（合併時它的父節點標記一定為1，且單獨構成乙個集合）。
這相當於每個完成回溯的節點都有乙個指標指向它的父節點，只需查詢y所在集合的代表元素（並查集的get操作），就等價於從y向上一直走到乙個開始遞迴但尚未回溯的節點（具有標記1），即lca（x，y）。
此時掃瞄與x相關的所有詢問，若詢問當中的另乙個點y的標記為2，就知道了該詢問的回答應該是y在並查集中的代表元素（get（y）函式的結果）。
同樣以how far away為例：
時間複雜度為o（n+m）。
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using
namespace std;
const
int maxn=
50010
;int ver[maxn*2]
,nt[maxn*2]
,edge[maxn*2]
,head[maxn]
;int fa[maxn]
,d[maxn]
,v[maxn]
,lca[maxn]
,ans[maxn]
;vector<
int>query[maxn]
,query_id[maxn]
;int t,n,m,tot,t;
void
add(
int x,
int y,
int z)
void
add_query
(int x,
int y,
int id)
int_get
(int x)
void
tarjan
(int x)
for(
int i=
0;i.size()
;i++)}
v[x]=2
;}intmain
(void
) tot=0;
int x,y,z;
for(
int i=
1;i)for
(int i=
1;i<=m;i++)}
tarjan(1
);for(
int i=
1;i<=m;i++
)printf
("%d\n"
,ans[i]);
}return0;
}
最近公共祖先 LCA 最近公共祖先
直接暴力搜尋參考 普通搜尋每次查詢都需要 樸素演算法是一層一層往上找，倍增的話直接預處理出乙個 具體做法是 維護乙個 的關係來線性求出這個陣列 int anc n 31 int dep n 記錄節點深度 void dfs int u,int parent for int i 0 i g u size...
最近公共祖先 最近公共祖先（LCA）
如題，給定一棵有根多叉樹，請求出指定兩個點直接最近的公共祖先。輸入格式 第一行包含三個正整數n m s，分別表示樹的結點個數 詢問的個數和樹根結點的序號。接下來n 1行每行包含兩個正整數x y，表示x結點和y結點之間有一條直接連線的邊 資料保證可以構成樹 接下來m行每行包含兩個正整數a b，表示詢問...
LCA 最近公共祖先
定義 對於有根樹t的兩個結點u v，最近公共祖先lca t,u,v 表示乙個結點x，滿足x是u v的祖先且x的深度盡可能大。另一種理解方式是把t理解為乙個無向無環圖，而lca t,u,v 即u到v的最短路上深度最小的點。現在給定乙個根為1的樹，求某兩個點的最近公共祖先。思路 預處理出每個點的深度再一...