對於母函式剛開始的時候筆者也覺得這實在是太難啊，但是在我靜下心來的時候開始看的時候才發現原來是這麼簡單啊；
對於母函式一般可分為普通型母函式和指數型母函式這兩種型別；
普通型母函式形式: f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ....+ anx^n;
指數型母函式形式: f(x) = a0 + a1(x)/1! + a2(x^2)/2! + ....+an(x^n)/n!;
母函式的定義：
在數學中，某個序列的母函式是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊；
也就是說母函式是針對某個序列的,它的外在表現形式是一種形式冪級數，比如說有這樣乙個序列a0,a1,....,an,構造乙個函式
f(x) = a0+a1x+a2x^2+.....+anx^n;
則f(x)是序列a0,a1,a2,......,an的母函式。比如說最常見的(1+x)^n,它是序列c(n,1),c(n,2),c(n,3),.....c(n,n)的母函式；
普通母函式解決的問題：
1.口袋中有白球2個，紅球3個，黃球1個，從袋中摸出3個球有幾種取法？
和上面描述的例子類似，我們可以用次數代表球的個數，多項式的每一項前面的係數代表取法的種樹。
可以很容易地寫出下面這個式子：
（1+x+x2
）（1+x+x2
+x3）（1+x）
（1+x+x2
）表示有白球2個，1表示白球不取，x代表取1個白球，x2代表取2個白球，即用x的次數表示取球的個數，後面的也是類似。那麼這個多項式的乘積就把所有的情況都表示出來了，對於最終乘積的每一項an
xn，表示取n個球有an
種取法。
2.有若干個1克，2克，5克的砝碼，要稱出20克的重量，有多少種稱法？
這裡不限制砝碼的個數，無所謂，照樣寫出母函式：
（1+x+x2
+x3+......xk
+....）（1+x2
+x4+x6
......+x2n
+......）（1+x5
+x10
+......x5m
+......）
因為要稱出20克，所以只需要找找到結果中次數為20 的那一項就可以得到結果。
3.同樣對於正數劃分也可以解決，比如有整數20，劃分成1，2，5，有多少種劃分方法？
解法和2的類似。
還有一類題目和這類似，有n個球放到m個盒子中，有多少種不同的放法？
（1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）總共有m項，然後找出乘積中次數為n的那一項係數。
指數型母函式：
1.口袋中有白球2個，紅球3個，黃球1個，任取3個作為乙個排列，總共有多少種排列？
類似地用指數型母函式解決
用（1+x/1!+x2
/2!）表示取白球0個，1個或者2個
那麼（1+x/1!+x2
/2!）（1+x/1!+x2
/2!+x3
/3!）（1+x/1!）來表示所有的排列結果。
=1+3x+4x2
+19x3
/6+19x4
/12+6x5
/12+x6
/12=1+3*(x/1!)+8*(x2
/2!)+19*(x3
/3!)+38*(x4
/4!)+60*(x5
/5!)+60*(x6
/6!)
找到次數為3的那一項，係數為19，那麼總共有19種排列。
2.用1，2，3，4能夠組成多少個5位數，要求1出現2次或者3次，2出現0次或者1次，3沒有限制，4只出現偶數次。
（x2/2!+x3
/3!）（1+x）（1+x/1!+x2
/2!+x3
/3!+.....xk
/k!+....）（1+x2
/2!+x4
/4!+......+x2n
/(2n)!+......）
每個式子的含義就不多解釋了，讀者應該能看懂它的含義。最終的結果就是x5
/5!這一項的係數。
用**去實現母函式的計算過程很簡單，它是模擬我們人工計算多項式乘積的過程，比如有多項式h1*h2*h3......
我們先計算h1和h2的乘積，得到結果h'，再用h'和h3相乘......依次類推下去，直到得到最終的結果。
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