數學基礎I 向量和座標

最基本的，我們都知道在數學上常常用座標表示空間中的某個目標點，該目標點在空間座標軸投影的位置即確定了目標點的位置。因此向量也可以用來表示描述這個目標點。什麼是向量？向量就是有大小，有方向的量。目標點相對於空間座標系原點的距離即是向量的大小，方位即是向量的方向。

向量的基本運算有1)加減，2)範數和模，3)叉乘，4)點乘，5)直乘，6)共軛和7)求逆。既然我們是為了描述運動控制，我們就以三維空間座標系距離。設有兩個向量a=ai+bj+ck;b=xi+yj+zk;其中abc,xyz為標量，ijk為向量單位。

1)加減

a±b=(a±x)i+(b±y)j+(c±z)k;

加減滿足交換律，即a±b=b±a;

2)範數和模

向量的範數【用||a||表示】等於各標量的平方和，向量的模【用|a|表示】等於範數的1/2次方。

即||a||=a*a+b*b+c*c;

|a|=sqrt(||a||);

3)叉乘

a叉乘b，用a×b表示，叉乘也叫外積、叉積，矢積，其結果是乙個向量，所以也稱為向量積，

a×b=|a||b|sin(∠ab)e，其中∠ab表示向量ab之間的夾角，e表示單位向量，e的方向依據右手法則，右手手掌伸開，大拇指與其他四指垂直且其他四指併攏。如果是a×b，則右手其他四指指向a的方向，握拳轉向b，此時大拇指的指向就是e的方向。

由此可知a×b=-(b×a);同時可知如果ab向量平行【或重合】，則a×b=0，因為sin(∠ab)=0.

4)點乘

a點乘b，用a·b表示，點乘也叫內積、點積，其結果是乙個標量，所以也稱為標量積，

a·b=|a||b|cos(∠ab)，其中∠ab表示向量ab之間的夾角。

因此可知a·b=b·a;同時可知如果ab正交，則a·b=0，因為cos(∠ab)=0.

5)直乘

a直乘b，用ab表示，有些資料上用乙個圓圈裡面放乙個叉乘符號表示【我找不到那個符號】。直乘也叫直積，或並矢，其結果是乙個張量，所以也稱為張量積，

ab=-(ax+by+cz)+(bz-cy)i+(-az+cx)j+(ay-bx)k;

其中(ax+by+cz)=a·b;(bz-cy)i+(-az+cx)j+(ay-bx)k=a×b;【可自行推導，這裡不過細展開。】即ab=-(a·b)+a×b;

由此可知ab!=ba;

6)共軛

共軛比較簡單，用a的共軛形式為a*;

a*=-ai-bj-ck;即向量單位都取反。可以想象其幾何意義便是由空間座標系原點朝目標點的筆直反方向，且模相當的乙個點。

由於a與a*平行【即a×a*=||a||sin180e=0，a·a*=||a||cos180=-||a||】，且|a|與|a*|相當。可知aa*=-(a·a*)+a×a*=-(a·a*)+0=-(a·a*)=-(-||a||)=||a||;

ab與ba互為共軛，為啥自己想。

7)求逆

假設ab=1;那麼b是a的逆，用a-1表示，注意這裡-1在右上標，找不到這個符號，-_-::。

因為aa*=||a||;所以aa*/||a||=1；即a*/||a||就是a的逆。