LCA問題的Tarjan演算法（POJ1330）

lca問題（least common ancestors，最近公共祖先問題），是指給定一棵有根樹t，給出若干個查詢lca(u, v)（通常查詢數量較大），每次求樹t中兩個頂點u和v的最近公共祖先，即找乙個節點，同時是u和v的祖先，並且深度盡可能大（盡可能遠離樹根）。

lca問題有很多解法：線段樹、tarjan演算法、跳表、rmq與lca互相轉化等。本文主要講解tarjan演算法的原理及詳細實現。

lca問題的一般形式：給定一棵有根樹，給出若干個查詢，每個查詢要求指定節點u和v的最近公共祖先。

lca問題有兩類解決思路:

離線演算法，一次性讀入所有查詢，統一進行處理，給出所有答案。

乙個lca的例子如下。比如節點1和6的lca為0。

tarjan演算法是離線演算法，基於後序dfs（深度優先搜尋）和並查集。如果不熟悉並查集，可以檢視並查集及其在最小生成樹中的應用。

演算法從根節點root開始搜尋，每次遞迴搜尋所有的子樹，然後處理跟當前根節點相關的所有查詢。

演算法用集合表示一類節點，這些節點跟集合外的點的lca都一樣，並把這個lca設為這個集合的祖先。當搜尋到節點x時，建立乙個由x本身組成的集合，這個集合的祖先為x自己。然後遞迴搜尋x的所有兒子節點。當乙個子節點搜尋完畢時，把子節點的集合與x節點的集合合併，並把合併後的集合的祖先設為x。因為這棵子樹內的查詢已經處理完，x的其他子樹節點跟這棵子樹節點的lca都是一樣的，都為當前根節點x。所有子樹處理完畢之後，處理當前根節點x相關的查詢。遍歷x的所有查詢，如果查詢的另乙個節點v已經訪問過了，那麼x和v的lca即為v所在集合的祖先。

其中關於集合的操作都是使用並查集高效完成。

演算法的複雜度為，o(n)搜尋所有節點，搜尋每個節點時會遍歷這個節點相關的所有查詢。如果總的查詢個數為m，則總的複雜度為o(n+m)。

比如上面的例子中，前面處理的節點的順序為4->7->5->1->0->…。

當訪問完4之後，集合跟集合合併，得到，並且集合祖先為1。然後訪問7。如果(7,4)是乙個查詢，由於4已訪問過，於是lca(7,4)為4所在集合的祖先，即1。7訪問完之後，把跟合併，得到，祖先為5。然後訪問5。如果(5,7)是乙個查詢，由於7已訪問過，於是lca(5,7)為7所在集合的祖先，即5。如果(5,4)也是乙個查詢，由於4已訪問過，則lca(5,4)為4所在集合的祖先，即1。5訪問完畢之後，把跟合併，得到，並且祖先為1。然後訪問1。如果有(1,4)查詢，則lca(1,4)為4所在集合的祖先，為1。1訪問完之後，把跟合併，得到，祖先為0。然後剩下的2後面的節點處理類似。

接下來提供乙個完整演算法實現。

使用鄰接表方法儲存一棵有根樹。並通過記錄節點入度的方法找出有根樹的根，方便後續處理。

const int mx = 10000; //最大頂點數
int n, root;		  //實際頂點個數，樹根節點
int indeg[mx];		  //頂點入度，用來判斷樹根
vectortree[mx]; //樹的鄰接表（不一定是二叉樹）
void inputtree() //輸入樹
for (int i = 0; i < n; i++) //尋找樹根，入度為0的頂點
if (indeg[i] == 0) 
}

使用vector陣列query儲存所有的查詢。跟x相關的所有查詢(x,y)都會放在query[x]的陣列中，方便查詢。

vectorquery[mx]; //所有查詢的內容
void inputquires() //輸入查詢
}

然後是並查集的相關資料和操作。

int father[mx], rnk[mx]; //節點的父親、秩
void makeset() //初始化並查集
int findset(int x) //查詢
void unionset(int x, int y) //合併

再就是tarjan演算法的核心**。

在呼叫tarjan之前已經初始化並查集給每個節點建立了乙個集合，並且把集合的祖先賦值為自己了，因而這裡不用給根節點x單獨建立。

int ancestor[mx]; //已訪問節點集合的祖先
bool vs[mx];	  //訪問標誌
void tarjan(int x) //tarjan演算法求解lca
vs[x] = 1; //標記為已訪問
for (int i = 0; i < query[x].size(); i++) //與根節點x有關的查詢
if (vs[query[x][i]]) //如果查詢的另乙個節點已訪問，則輸出結果
printf("%d和%d的最近公共祖先為：%d\n", x, 
query[x][i], ancestor[findset(query[x][i])]);
}

下面是主程式，再加乙個樣例輸入輸出作為測試。

int main()

LCA問題的Tarjan演算法（POJ1330）

演算法筆記 LCA問題 tarjan 離線演算法

LCA離線演算法tarjan

LCA 離線tarjan演算法

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