LCA演算法解析 Tarjan 倍增

lca的tarjan演算法的時間複雜度為o(n+q)是一種離線演算法，要用到並查集。

tarjan演算法基於dfs，在dfs的過程中，對於每個節點位置的詢問做出相應的回答。

當然，暫時還沒那麼容易弄懂，所以建議結合下面的例子和標算來看看。

比如：8-1-（13，14）,此時如果詢問(13，14)的話，則(13，14)的lca為1；如果沒有相應的詢問，則往上回溯，(13，14)的父親都是1了，再往上就是8了。再dfs 8-4-6-(15,7),一樣的，回溯時，15，7，4的lca就成4了。

#include #include 
#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
const
int n=40000+5
;struct
edge
void add(int a,int b,int
c)}e,q;
int t,n,m,from,to,dist,in
[n],rt,dis[n],fa[n],ans[n];
bool
vis[n];
void dfs(int
rt)}
int getf(int
k)void lca(int
rt)    vis[rt]=1
;    
for (int i=q.fst[rt];i;i=q.nxt[i])
if (vis[q.y[i]]&&!ans[q.z[i]])
ans[q.z[i]]=dis[q.y[i]]+dis[rt]-2*dis[getf(q.y[i])];
}int
main()
return0;
}

對於這個演算法，我們從最暴力的演算法開始：

①如果a和b深度不同，先把深度調淺，使他變得和淺的那個一樣

②現在已經保證了a和b的深度一樣，所以我們只要把兩個一起一步一步往上移動，直到他們到達同乙個節點，也就是他們的最近公共祖先了。

#include #include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
const
int n=10000+5
;vector 
son[n];
int t,n,depth[n],fa[n],in
[n],a,b;
void dfs(int prev,int
rt)int lca(int a,int
b)int
main()
depth[
0]=-1
;        
int rt=0
;        
for (int i=1;i<=n&&rt==0;i++)
if (in[i]==0
)                rt=i;
dfs(
0,rt);
scanf(
"%d%d
",&a,&b);
printf(
"%d\n
",lca(a,b));
}return0;
}

而實際上，一步一步往上移動太慢，我們可以做乙個預處理：

fa[i][j]表示節點i往上走2^j次所到達的祖先，那麼不難寫出轉移方程：

fa[i][0]=father[i],fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]

然後在求lca的時候，有這樣乙個性質：（假設a和b深度一樣）

設anst[x][y]為節點x網上走y步到達的祖先，對於乙個k，如果anst[a][k]==anst[b][k],那麼對於k'(k'>k)，一定有anst[a][k']==anst[b][k']；對於乙個k，如果anst[a][k]!=anst[b][k],那麼對於k'(k'

於是求法就漸漸的現行了：

1. 把a和b移到同一深度（設depth[x]為節點x的深度），假設depth[a]<=depth[b],所以我們的目的是把b向上移動i=(depth[b]-depth[a])層，那麼，由於之前有預處理的fa陣列，我們把i寫成二進位制形勢，然後利用fa陣列來在log n的複雜度中完成；

2. 尋找a和b的lca下一層的兩個祖先。利用之前的那個性質，再利用倍增，如果a和b的第2^k個祖先不是同乙個，那麼把a改為fa[a][k],b改為fa[b][k],k減1;否則直接k減1；當然在這之前要實現確定k的最大值，從大往小處理下去。最終的結果就是fa[a][0]或者fa[b][0]。

注意點：如果a和b在調節深度之後已經是同乙個祖先的，那麼直接返回a或者b。

1 #include 2 #include 3 #include 4 #include 5 #include 6 #include 7
using
namespace
std;
8const
int n=10000+5
;9 vector son[n];
10int t,n,depth[n],fa[n][17],in
[n],a,b;
11void dfs(int prev,int
rt)19
int lca(int a,int
b)34
intmain()
46         depth[0]=-1;47
int rt=0;48
for (int i=1;i<=n&&rt==0;i++)
49if (in[i]==0
)50                 rt=i;
51         dfs(0
,rt);
52         scanf("
%d%d
",&a,&b);
53         printf("
%d\n
",lca(a,b));54}
55return0;
56 }

LCA演算法解析 Tarjan 倍增

LCA倍增演算法

lca倍增演算法模板

LCA的倍增演算法

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