大家知道，進入大廈必須首先跨入大廈的門廳，別無他途。空集
ø是數學大廈的看門人。任何進入數學大廈的人必須與空集「打招呼」。空集
ø裡面沒有任何元素，所以，空集
ø也可表示為
{}(集合的數學符號
)，裡面什麼元素也沒有。
在現代數學中，數字
0一般定義為空集
ø。雖然空集
{}本身不是數字
0。由此，數字
1定義為
，數字2
定義為}
，......
我們注意：集合的
包含關係ø⊆
表示自然數的順序關係
0< 1
，.......
康托爾認為，所有的自然數仍然構成乙個集合
n，對此，哲學家維根斯坦堅決反對，認為集合
n沒有任何數學意義。但是，後來人接受了康托爾的思想，接受了
n也是乙個確定的集合，並且由此集合
n完美地定義出有理數系q。
康托爾考慮有理數序列
,n=1,2,3,......
他認為，乙個「柯西收斂」的有理數列
對應到乙個實數
a，從此，建立起實數系
r。如果把「柯西收斂」的序列利用所謂「超濾器」再加以細分下去，就得到所謂的「超實數」
*r了。這種數系「細分」的觀念是由袁萌本人在上世紀七十年代首先提出的。
有了兩套實數系，但是我們只有一套微積分。在現代數學大廈裡面，任何數學分支都離不開微積分（的成果）。微積分「文盲」就是現代數學文盲！
說明：什麼是「柯西收斂」，什麼是法國布林巴基學派的「超濾器」（
filter
），這都是技術細節問題，不妨礙「科普」理解。
袁萌 6月17
日
現代數學研究什麼？
在中世紀，數學研究的物件多半侷限於具體的數量與空間關係，但是，從十九 世紀開始 數學家們逐漸轉向數學研究過程內過部所發生的 事情，而對於數學究竟是什麼，興趣不大了。現在，如果你追問乙個數學家，數學研究什麼？他會對你笑一笑，說聲 抱歉 或者，隨便用幾句話搪塞你了事。拒絕抽象思維就等於拒絕數學。如果你拒...
現代數學研究什麼
現代數學研究什麼?在中世紀，數學研究的物件多半侷限於具體的數量與空間關係，但是，從十九世紀開始，數學家們逐漸轉向數學研究過程內部所發生的事情，而對於數學究竟是什麼，興趣不大了。現在，如果你追問乙個數學家，數學研究什麼？他會對你笑一笑，說聲 抱歉 或者，隨便用幾句話搪塞你了事。拒絕抽象思維就等於拒絕數...
現代數學的引路人
引路人 guide 就是嚮導 或指導 人的意思。現代數學門類繁多，錯綜複雜，特別需要有乙個引路人，以便不致於迷失方向。現代數學的引路人就是集合論 set theory 的奠基人，德國數學家康托爾 georg cantor 1845 1918 為什麼這麼說？自古以來，數學是一門關於計算的學問，離開計算...