初看此定義相當的迷惑。先說對於每個epsilon，都存在乙個如此的delta，然後又是如果delta怎麼樣，epsilon就會怎麼樣。好像完全倒著來了一邊。
我的理解是：
函式極限定義的理解
1.對於所有的 ε>0，
2.存在 δ>0
3.如果 0<|x-x0|<δ
4.則 0<|f(x)-a|<ε
有兩層含義：
1是說明與函式值與極限可以無限接近
2是把無限接近這一過程限定在x0附近，因為在給定去心領域中，所有|f(x)-a|都小於ε，為什麼是所有的f(x)，而不是存在f(x),意義在於排除這樣乙個情況：整個函式中，函式值可以在非x0的其他區域性接近極限值a，也就是限定接近極限的過程在x0為中心的去心鄰域中！
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思路一：
首先存在乙個數l，使得函式因變數與l以及任意大於0的實數ε滿足這樣的關係，|f(x)-l| < ε。這個不等式的意思是，因變數可以無限地接近極限l。
在此條件下，不管因變數有多麼接近l，都可以找到乙個大於0的實數δ，使得f(x)在以c點為中心，δ為半徑的去心鄰域裡有無窮多個定義點，也就是說x可以無限地接近c。
通俗地說，極限地正式定義就是指因變數可以從兩邊無限接近函式極限的時候，自變數也可以從兩邊無限地接近極限點。
思路二：
還是首先存在乙個數l，使得函式因變數與l以及任意大於0的實數ε滿足這樣的關係，|f(x)-l| < ε。這個不等式的意思是，因變數可以無限地接近極限l。
確定個f(x)的範圍即 |f(x)-l| < ε後，總能找到乙個δ，使得函式定義域在以c點為中心，δ為半徑的去心鄰域中時，因變數取值都在l±ε裡。
這樣一來，就要求其左極限和右極限存在並相等。
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