不要被階乘嚇倒

階乘（factorial）是個很有意思的函式，但是不少人都比較怕它，我們來看看兩個與階

1. 給定乙個整數n，那麼n的階乘n！末尾有多少個0呢？例如：n＝10，n！＝3 628 800，

n！的末尾有兩個0。

2. 求n！的二進位制表示中最低位1的位置。

有些人碰到這樣的題目會想：是不是要完整計算出 n！的值？如果溢位怎麼辦？事實上，如果我們從「哪些數相乘能得到 10」這個角度來考慮，問題就變得簡單了。

首先考慮，如果 n！=k×10m，且 k不能被 10 整除，那麼 n！末尾有 m 個 0。再考慮對 n！進行質因數分解，n！=（2x）×（3y）×（5z）…，由於 10 = 2×5，所以 m 只跟 x 和 z 相關，每一對2 和 5 相乘可以得到乙個 10，於是 m = min（x, z）。不難看出x 大於等於z，因為能被 2 整除的數出現的頻率比能被 5 整除的數高得多，所以把公式簡化為m = z。

根據上面的分析，只要計算出 z 的值，就可以得到 n！末尾 0 的個數。

【問題 1 的解法一】

要計算 z，最直接的方法，就是計算i（i =1, 2, …, n）的因式分解中5 的指數，然後求

和：**清單 2-6

ret = 0;

for(i = 1; i <= n; i++)

j = i;

while(j % 5 ==0)

ret++; j /= 5;

【問題 1 的解法二】

公式：z = [n/5] +[n/52] +[n/53] + …（不用擔心這會是乙個無窮的運算，因為總存在一個 k，使得 5k > n，[n/5k]=0。）

公式中，[n/5]表示不大於 n 的數中 5 的倍數貢獻乙個 5，[n/52]表示不大於 n 的數中 52

的倍數再貢獻乙個 5，……**如下：

ret = 0; while(n)

ret += n / 5; n /= 5;

問題 2 要求的是 n！的二進位制表示中最低位 1 的位置。給定乙個整數 n，求 n！二進位製表

示的最低位 1 在第幾位？例如：給定 n = 3，n！= 6，那麼 n！的二進位制表示（1 010）的最低位 1 在第二位。

為了得到更好的解法，首先要對題目進行一下轉化。

判斷最後乙個二進位制位是否為 0，若為 0，則將此二進位制數右移一位，即為商值（為什麼）；反之，若為1，則說明這個二進位制數是奇數，無法被2 整除（這又是為什麼）。

所以，這個問題實際上等同於求 n！含有質因數 2 的個數。即答案等於 n！含有質因數

2 的個數加 1。

【問題2 的解法一】

由於 n! 中含有質因數 2 的個數，等於 n/2 + n/4 +n/8+ n/16 + … ，根據上述分析，得到具體演算法，如下所示：

**清單 2-7

int lowestone(int n)

int ret = 0;while(n)

n >>= 1; ret+= n;

return ret;

【問題 2 的解法二】

n！含有質因數 2 的個數，還等於 n減去 n 的二進位制表示中 1的數目。我們還可以通過這個規律來求解。

下面對這個規律進行舉例說明，假設 n = 11011，那麼 n!中含有質因數 2 的個數為 n/2

+n/4+ n/8 + n/16 + …

即： 1101 + 110 + 11 + 1

=（1000 + 100 + 1）

+（100+ 10）

+（10+ 1）

+1=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100+ 10 + 1）+1

=1111+ 111 + 1

=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）

1 這個規律請讀者自己證明（提示 n/k，等於 1, 2, 3, …, n 中能被 k 整除的數的個數）。

= 11011-n 二進位制表示中 1 的個數

任意乙個長度為 m 的二進位制數 n 可以表示為 n = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] *2(m-1)，其中 b [ i ]表示此二進位制數第 i 位上的數字（1 或 0）。所以，若最低位 b[1]為 1，則說明 n 為奇數；反之為偶數，將其除以 2，即等於將整個二進位制數向低位移一位。

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