不要被階乘嚇倒

1.   給定乙個整數n，那麼n的階乘n！末尾有多少個0呢？例如：n＝10，n！＝3 628 800，n！的末尾有兩個0。

2.   求n！的二進位制表示中最低位1的位置。

解答：

有些人碰到這樣的題目會想：是不是要完整計算出n！的值？如果溢位怎麼辦？事實上，如果我們從「哪些數相乘能得到10」這個角度來考慮，問題就變得簡單了。

首先考慮，如果n！= k×10m

，且k不能被10整除，那麼n！末尾有m個0。再考慮對n！進行質因數分解，n！=（2x

）×（3y

）×（5z

）…，由於10 = 2×5，所以m只跟x和z相關，每一對2和5相乘可以得到乙個10，於是m = min（x, z）。不難看出x大於等於z，因為能被2整除的數出現的頻率比能被5整除的數高得多，所以把公式簡化為m = z。

根據上面的分析，只要計算出z的值，就可以得到n！末尾0的個數。

【問題1的解法一】

要計算z，最直接的方法，就是計算i（i =1, 2, …, n）的因式分解中5的指數，然後求和：

**清單2-6

1 ret = 0;2

for(i = 1; i <= n; i++)
310 }

公式：z = [n/5] +[n/52] +[n/53] + …（不用擔心這會是乙個無窮的運算，因為總存在乙個k，使得5k

> n，[n/5k

]=0。）

公式中，[n/5]表示不大於n的數中5的倍數貢獻乙個5，[n/52]表示不大於n的數中52的倍數再貢獻乙個5，……**如下：

1 int ret = 0;2

while
(n)3

7 

return ret;

為了得到更好的解法，首先要對題目進行一下轉化。

首先來看一下乙個二進位制數除以2的計算過程和結果是怎樣的。

把乙個二進位制數除以2，實際過程如下：

判斷最後乙個二進位制位是否為0，若為0，則將此二進位制數右移一位，即為商值（為什麼）；反之，若為1，則說明這個二進位制數是奇數，無法被2整除（這又是為什麼）。

所以，這個問題實際上等同於求n！含有質因數2的個數。即答案等於n！含有質因數2的個數加1。

【問題2的解法一】

由於n! 中含有質因數2的個數，等於 n/2 + n/4 + n/8 + n/16 + …[1]，

根據上述分析，得到具體演算法，如下所示：

**清單2-7

1

int lowestone(intn)2
9return
++ret;
10 }

n！含有質因數2的個數，還等於n減去n的二進位制表示中1的數目。我們還可以通過這個規律來求解。

下面對這個規律進行舉例說明，假設 n = 11011，那麼n!中含有質因數2的個數為 n/2 + n/4 +n/8 + n/16 + …

即： 1101 + 110 + 11 + 1

=（1000 + 100 + 1）

+（100 + 10）

+（10 + 1）

+ 1=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1

= 1111 + 111 + 1

=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）

= 11011-n二進位制表示中1的個數

任意乙個長度為m的二進位制數n可以表示為n = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] * 2(m

-1)，其中b [ i ]表示此二進位制數第i位上的數字（1或0）。所以，若最低位b[1]為1，則說明n為奇數；反之為偶數，將其除以2，即等於將整個二進位制數向低位移一位。

如果為2的方冪則它的二進位制只有乙個位為1，所以只需要判斷n&（n

-1）是否為0即可，即（n&（

n-1））==0）

不要被階乘嚇倒

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