有些人碰到這樣的題目會想：是不是要完整計算出
n！的值？如果溢位怎麼辦？事實上，如果我們從「哪些數相乘能得到10」
這個角度來考慮，問題就變得簡單了。
首先考慮，如果n！
= k×
10m，且
k不能被
10整除，那麼
n！末尾有m個
0。再考慮對
n！進行質因數分解，n！
=（2x）×（
3y）×（5z）
…，由於
10 = 2×5
，所以m只跟x
和z相關，每一對2和
5相乘可以得到乙個
10，於是
m= min（x
, z）。不難看出
x大於等於
z，因為能被
2整除的數出現的頻率比能被
5整除的數高得多，所以把公式簡化為
m= z。
根據上面的分析，只要計算出
z的值，就可以得到
n！末尾
0的個數。 【
問題1的解法一
】要計算
z，最直接的方法，就是計算i（
i =1, 2, …,n
）的因式分解中
5的指數，然後求和：
**清單
2-6
ret = 0;
for(i = 1; i <= n; i++)}
【問題1的解法二
】公式：
z= [n/5] +[n/52] +[n/53] +
…（不用擔心這會是乙個無窮的運算，因為總存在乙個
k，使得
5k > n
，[n/5k
]=0。）
公式中，
[n/5]
表示不大於
n的數中
5的倍數貢獻乙個5，
[n/52]
表示不大於
n的數中
52的倍數再貢獻乙個5，
……**如下：
ret = 0;
while(n)問題2
要求的是
n！的二進位制表示中最低位
1的位置。給定乙個整數n，求
n！二進位制表示的最低位
1在第幾位？例如：給定
n= 3，n
！= 6
，那麼n
！的二進位制表示（
1 010
）的最低位
1在第二位。
為了得到更好的解法，首先要對題目進行一下轉化。
首先來看一下乙個二進位制數除以
2的計算過程和結果是怎樣的。
把乙個二進位制數除以
2，實際過程如下：
判斷最後乙個二進位制位是否為
0，若為
0，則將此二進位制數右移一位，即為商值（為什麼）；反之，若為
1，則說明這個二進位制數是奇數，無法被
2整除（這又是為什麼）。
所以，這個問題實際上等同於求
n！含有質因數
2的個數。即答案等於
n！含有質因數
2的個數加1。
【問題2
的解法一】由於
n! 中含有質因數
2的個數，等於
n/2 + n/4 + n/8 + n/16 + …，
根據上述分析，得到具體演算法，如下所示：
**清單
2-7
int lowestone(int n)
return ret;
} 【問題2的
解法二】
n！含有質因數
2的個數，還等於n減去
n的二進位制表示中
1的數目。我們還可以通過這個規律來求解。
下面對這個規律進行舉例說明，假設
n= 11011
，那麼n
!中含有質因數
2的個數為
n/2 + n/4 + n/8 + n/16 + …即：
1101 + 110 + 11 + 1 =
（1000 + 100 + 1）
+（100 + 10）
+（10 + 1）
+ 1 =（
1000 + 100+ 10 + 1）+
（100 + 10 + 1
）+ 1
= 1111 + 111 + 1 =
（10000 -1
）+（1000-1
）+（10
-1）+
（1-1
） = 11011-n
二進位制表示中
1的個數
任意乙個長度為
m的二進位制數
n可以表示為n=
b[1] +
b[2] * 2 +
b[3] * 22 + …+
b[m] * 2(m-1)
，其中b
[ i ]
表示此二進位制數第
i位上的數字（1或
0）。所以，若最低位
b[1]為1
，則說明
n為奇數；反之為偶數，將其除以
2，即等於將整個二進位制數向低位移一位。
給定整數
n，判斷它是否為2n
>0&&（（n
&（n-
1））==0））。
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這個規律請讀者自己證明（提示n/k
，等於1, 2, 3,
…, n
中能被k
整除的數的個數）。
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