cantor對集合的一些著名的研究讓我們更加清楚地認識了無窮這玩意兒。cantor發現，無窮集合之間也有大小關係，他把這種大小關係叫做集合的勢(cardinality)。正整數和正偶數都有無窮多個，但到底誰要多一些呢？我們認為，正整數和正偶數一樣多，因為我們可以在它們之間建立起一一對應的關係（乘2除2），因此有多少個正整數就有多少個正偶數，反過來有多少個正偶數我就能找出多少個正整數。於是我們說，正整數集和正偶數集是等勢的。
再來想乙個問題，自然數和所有整數哪個多哪個少？答案還是一樣多。重新排列一下所有整數，你會看到自然數和整數之間也有一一對應的關係，它們的個數一樣多，兩個集合也是等勢的：
自然數：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …
整數：0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, …
cantor還發現，有理數集與自然數集也是等勢的，也就是說有理數和自然數一樣多！這個證明方法可謂是數學史上真正的經典：把所有有理數寫成最簡分數的形式，根據分子和分母的值把它們排列成二維的陣列，然後從1/1出發沿對角線方向蛇形遍歷所有的數。第i個遍歷到的數與自然數i對應，正有理數集與正整數集也就有了一一對應的關係。注意這裡僅僅是正有理數，不過沒啥，用剛才證明整數集與自然數集等勢的方法，我們也可以把正有理數擴充套件到全體有理數。
事實上，對於任何乙個集合s，如果你能找出一種方法把集合裡的所有元素按順序乙個不漏地羅列出來，寫成a1, a2, a3, a4, … 的形式，那麼這個集合就是和自然數集等勢的，因為序列的下標和自然數集就已經構成了乙個一一對應的關係。我們把所有與自然數集等勢的集合叫做可數集(countable set)，因為它們是可以數出來的。
並不是所有集合都是可數的。cantor證明了，實數區間[0,1]是不可數的集合，它的勢比自然數集大。你找不出什麼方法能把0到1之間的所有實數乙個不漏地排列出來。這個證明方法很巧妙，假設你把實數區間[0,1]裡的所有數按照某種順序排列起來，那麼我總能找到至少乙個0到1之間的實數不在你的列表裡。把你的列表上的數全寫成0到1之間的小數：
a1 = 0.0147574628…
a2 = 0.3793817237…
a3 = 0.2323232323…
a4 = 0.0004838211…
a5 = 0.9489129145…
………那麼我就構造這麼乙個小數，小數點後第一位不等於a1的第一位，小數點後第二位不等於a2的第二位，總之小數點後第i位不等於ai的第i位。這個數屬於實數區間[0,1]，但它顯然不在你的列表裡。這樣，我就證明了實數區間是不可數的。
最近，matthew h. baker找到了證明實數區間是不可數集的一種新方法。這種方法同原來的方法完全不同。新的證明方法從乙個博弈遊戲出發，在兩個不同的數學領域間建立起了聯絡，非常具有啟發性。
a和b兩個人在實數區間[0,1]上玩乙個遊戲。首先，a在(0,1)之間選乙個數a1，然後b在(a1,1)裡選乙個數b1；接著，a在(a1,b1)之間選乙個數a2，然後b在(a2,b1)裡選乙個數b2……總之，以後a和b輪流取數，選的那個數必須位於前面兩次選的數之間。可以看到，序列a1, a2, a3, …是乙個單增的有界序列，因此遊戲無限進行下去，數列最終會收斂到某乙個實數c。遊戲進行前，a和b約定乙個[0,1]的子集s，規定如果最後c∈s，則a勝，否則b勝。
baker發現，如果s集為可數集的話，b肯定有必勝策略。如果s集可數，那麼b就可以把s集裡的數排列成乙個序列s1, s2, s3, … 。b的目標就是讓序列的極限不等於s集裡的任乙個數。考慮b的這樣乙個遊戲策略：當b第i次選數時，如果選si合法，那麼就選它（這樣序列就不能收斂到它了）；否則如果這一步選si不合法，那就隨便選乙個合法的數（此時序列已經不可能收斂到si了）。這種策略就可以保證a選出的數列的極限不是s集裡的任乙個數。
有趣的事情來了。假如a和b約定好的s集就是整個實數區間[0,1]，那麼b顯然不可能獲勝；但如果[0,1]是可數集的話，b是有必勝策略的。於是我們就知道了，[0,1]是不可數集。
有理數集合是可數集合，無理數集合是不可數集合
以下介紹的是康托想出的有理數與自然數對應方式，表中的 p,q 表示 p q。1,1 1,2 1,3 1,4 1,n 2,1 2,2 2,3 2,4 2,n m,1 m,2 m,3 m,4 m,n 表中 p q 的值在同乙個由右下至左上同一列是相等的，由左上角 1,1 開始，p q 的值是 2，之後是...
實變函式 1 4 可數集合
1 定義 若 a sim bbn 則稱 a 為可數集 countable set 2 例 正奇數集合 正偶數集合 整數集合.3 性質 1 任何無限集均有乙個可數子集.即 若 a 為無限集,則 overline geq a equiv overline 證明 a bs sed neq vno 而可取出...
泛函分析之集合的對映和可數集與不可數集
高等數學中學過的函式關係 y f x 是從實數集 r 或其子集 到 r 中的一種對應關係，這個概念可以推廣到一般集合上。定義1.1 設a,b是兩個非空集合，若存在乙個對應關係 f 使得對 x a，存在唯一的乙個y b 與之對應，則f稱為 a 到 b 的對映，記為 f a b y 稱為 x 在對映 f...