1 定義: 若 $a\sim\bbn$, 則稱 $a$ 為可數集 (countable set).
2 例: 正奇數集合、正偶數集合、整數集合.
3 性質:
(1) 任何無限集均有乙個可數子集. 即: 若 $a$ 為無限集, 則 $\overline}\geq a\equiv \overline}$.
證明: $a\bs \sed\neq \vno$ 而可取出第 $n+1$ 個元.
(2) 可數集的任何無限子集為可數集, 可數集的任何子集為有限集或可數集.
證明: 設 $a$ 可數, $b\subset a$ 無限, 則由 $b\subset a$ 知 $\overline}\leq \overline}$; 由 $b$ 無限及
性質 (1) 知 $\overline}\geq a=\overline}$. 據 bernstein 定理, $\overline}=a$.
(3) $a$ 可數, $b$ 有限或可數, 則 $a\cup b$ 可數.
證明: 若 $a\cap b=\vno$, 則可設 $$\bex a=\sed; \eex$$ $$\bex b=\sed\mbox b=\sed. \eex$$
於是 $$\bex a\cup b=\sed\mbox b=\sed \eex$$
可數.
若 $a\cap b\neq \vno$, 則 $$\bex a\cup b=a\cup(b\bs a), \eex$$
而化為已證的情形.
(4) $\sed_^n$ 有限或可數, 則 $\dps^n a_i}$ 也有限或可數; 且若某 $a_i$ 可數, 則
$\dps^n a_i}$ 可數.
證明: 對 $n$ 作數學歸納法即化為性質 (3).
(5) $\sed_^\infty$ 為可數集列, 則 $\dps^\infty a_i}$ 可數.
證明: 先設 $a_i$ 互不相交: $a_i\cap a_j=\vno, i\neq j$. 由 $a_i$ 可數知可再設 $$\bex a_i=\sed,a_,a_,\cdots}. \eex$$
於是 $\dps^\infty a_i}$ 可乙個不拉地排成蛇形: $$\bex \baa_1=\&\to&a_&&a_&\to&a_&\cdots\}\\ &&\swarrow&&\nearrow&&\swarrow&&\\ a_2=\&&a_&&a_&&a_&\cdots\}\\ &\downarrow&\nearrow&&\swarrow&&\nearrow&&\\ a_3=\&&a_&&a_&&a_&\cdots\}\\ &&\swarrow&&\nearrow&&&&\\ a_4=\&\to&a_&&a_&&a_&\cdots\}. \ea\eex$$ 當 $a_i$ 不是互不相交的時候, 令 $$\bex b_1=a_1,\quad b_i=a_i\bs (a_1\cup \cdots\cup a_) \eex$$
後有 $b_i$ 互不相交且 $\dps^\infty b_i=\cup_^\infty a_i}$, 而可化為已證的情形.
(6) $\sed_^n$ 可數, 則 $\prod_^n a_i$ 可數.
證明: 用數學歸納法. 歸納步利用 $$\beex \bea &\quad a_=\sed\\ &\ra a_1\times\cdots\times a_=\cup_^\infty [a_1\times\cdots\times a_n\times \sed], \eea\eeex$$
及性質 (5).
4 例:
(1) 直線上互不相交的開區間族有限或可數.
證明: 設 $\sed_$ 是直線上互不相交的開區間族, 則可取定 $(a_\alpha,b_\alpha)$
中的乙個有理數 $r_\alpha$, 而得到該集族到 $\bbq$ 的乙個子集的一一對應.
(2) $\bbq$ 可數.
證明: 利用 $$\bex\bbq=\cup_^\infty \sed;m\in\bbz} \eex$$
及性質 (5).
(3) $\bbq^2$ ($\bbr^2$ 中有理點全體) 可數.
證明: 利用 $\bbq^2=\bbq\times \bbq$ 及性質 (6).
(4) 整係數多項式全體 $\bbz[x]$ 可數.
證明: $$\beex \bea \bbz[x] &=\sed\cup \cup_^\infty \sedx^+\cdots+a_0; a_i\in\bbz,a_n\neq 0}\\ &\sim \sed\cup \cup_^\infty (\bbz\bs \sed)\times \underbrace_}. \eea \eeex$$
(5) 代數數 (整係數多項式的根, algebraic numbers; 不是代數數的複數稱為
超越數: transcendental numbers) 全體 $a$ 可數.
證明: 對有理數 $m/n\in\bbq$, 其為 $nx-m=0$ 的根, 而 $\bbq\subset a$, $\overline}\leq \overline}$.
另外, $a$ 中元 $a$ 既然是整係數多項式的根, 就可以取定其中乙個整係數多
項式, 而得到 $a$ 到 $\bbz[x]$ 的乙個子集的一一對應, 由例 (4), $\overline}\leq a$.
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