堆是什麼？是一種特殊的完全二叉樹，就像下面這棵樹一樣。
有沒有發現這棵二叉樹有乙個特點，就是所有父結點都比子結點要小（注意：圓圈裡面的數是值，圓圈上面的數是這個結點的編號，此規定僅適用於本節）。符合這樣特點的完全二叉樹我們稱為最小堆。反之，如果所有父結點都比子結點要大，這樣的完全二叉樹稱為最大堆。那這一特性究竟有什麼用呢？
假如有14
個數分別是99、
5、36、
7、22、
17、46、
12、2、
19、25、
28、1和
92。請找出這
14個數中最小的數，請問怎麼辦呢？最簡單的方法就是將這14個數從頭到尾依次掃一遍，用乙個迴圈就可以解決。這種方法的時間複雜度是o(14)
也就是o(n)。
[cpp]view plain
copy
for(i=1;i<=14;i++)
現在我們需要刪除其中最小的數，並增加乙個新數23
，再次求這
14個數中最小的乙個數。請問該怎麼辦呢？只能重新掃瞄所有的數，才能找到新的最小的數，這個時間複雜度也是o(n)。假如現在有
14次這樣的操作（刪除最小的數後並新增乙個新數）。那麼整個時間複雜度就是o(14
2)即o(n2)。那有沒有更好的方法呢？堆這個特殊的結構恰好能夠很好地解決這個問題。
首先我們先把這個14
個數按照最小堆的要求（就是所有父結點都比子結點要小）放入一棵完全二叉樹，就像下面這棵樹一樣。
很顯然最小的數就在堆頂，假設儲存這個堆的陣列叫做h
的話，最小數就是
h[ 1]。接下來，我們將堆頂的數刪除，並將新增加的數23
放到堆頂。顯然加了新數後已經不符合最小堆的特性，我們需要將新增加的數調整到合適的位置。那如何調整呢？
向下調整！我們需要將這個數與它的兩個兒子2和5
比較，並選擇較小乙個與它交換，交換之後如下。
我們發現此時還是不符合最小堆的特性，因此還需要繼續向下調整。於是繼續將23
與它的兩個兒子12和
7比較，並選擇較小乙個交換，交換之後如下。
到此，還是不符合最小堆的特性，仍需要繼續向下調整直到符合最小堆的特性為止。
我們發現現在已經符合最小堆的特性了。綜上所述，當新增加乙個數被放置到堆頂時，如果此時不符合最小堆的特性，則將需要將這個數向下調整，直到找到合適的位置為止，使其重新符合最小堆的特性。
向下調整的**如下。
[cpp]view plain
copy
void
siftdown(
inti)
//傳入乙個需要向下調整的結點編號i，這裡傳入1，即從堆的頂點開始向下調整
//如果發現最小的結點編號不是自己，說明子結點中有比父結點更小的
if(t!=i)
else
flag=1;//則否說明當前的父結點已經比兩個子結點都要小了，不需要在進行調整了
} }
我們剛才在對23
進行調整的時候，竟然只進行了
3次比較，就重新恢復了最小堆的特性。現在最小的數依然在堆頂為2
。之前那種從頭到尾掃瞄的方法需要14
次比較，現在只需要
3次就夠了。現在每次刪除最小的數並新增乙個數，並求當前最小數的時間複雜度是o(3)
，這恰好是
o(log
214)即
o(log
2n)簡寫為
o(logn)。假如現在有
1億個數（即
n=1億），進行
1億次刪除最小數並新增乙個數的操作，使用原來掃瞄的方法計算機需要執行大約1
億的平方次，而現在只需要1億
*log1
億次，即
27億次。假設計算機每秒鐘可以執行10億次，那原來則需要一千萬秒大約115天！而現在只要
2.7秒。是不是很神奇，再次感受到演算法的偉大了吧。
說到這裡，如果只是想新增乙個值，而不是刪除最小值又該如何操作呢？即如何在原有的堆上直接插入乙個新元素呢？只需要直接將新元素插入到末尾，再根據情況判斷新元素是否需要上移，直到滿足堆的特性為止。如果堆的大小為n
（即有n
個元素），那麼插入乙個新元素所需要的時間也是o(logn)。例如我們現在要新增乙個數3。
先將3與它的父結點25比較，發現比父結點小，為了維護最小堆的特性，需要與父結點的值進行交換。交換之後發現還是要比它此時的父結點5小，因此需要再次與父結點交換。至此又重新滿足了最小堆的特性。向上調整完畢後如下。
向上調整的**如下。
[cpp]view plain
copy
void
siftup(
inti)
//傳入乙個需要向上調整的結點編號i
} 說了半天，我們忽略乙個很重要的問題！就是如何建立這個堆。我們周一接著說。
買了的朋友記得來啥單，還可以得到《啊哈！演算法》的t恤哦~~~
堆 神奇的優先佇列 上 經典
原文章 堆是什麼？是一種特殊的完全二叉樹，就像下面這棵樹一樣。有沒有發現這棵二叉樹有乙個特點，就是所有父結點都比子結點要小 注意 圓圈裡面的數是值，圓圈上面的數是這個結點的編號，此規定僅適用於本節 符合這樣特點的完全二叉樹我們稱為最小堆。反之，如果所有父結點都比子結點要大，這樣的完全二叉樹稱為最大堆...
啊哈！演算法 演算法11 堆 神奇的優先佇列（上）
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